Подпространство С[0,1]

[Юстас]

Пусть $X_0$- замкнутое подпространство $C[0,1]$, целиком состоящее из непрерывно дифференцируемых функций. Верно ли, что $X_0$ конечномерное?

[Руст]

Контрпример можно построит разделив всю ось на подобласти $(n,n+1),n\in Z$ и в каждой подобласти функция может принимать только вид линейной комбинации двух функций.
Это же можно выразить так. Возьмём функцию

$$f(x)=\binom{exp(-\frac 1x), \ x>0}{0,x\le 0}$$

Пусть $g(x)=f(x)f(1-x)$ и $g_n(x)=g(x-n),n\in Z$. Тогда линейные комбинации таких функций бесконечно дифференцируемы и замкнуты.

[Профессор Снэйп]

Так вроде бы $C[0,1]$ --- это функции из $[0,1]$, а не из $\mathbb{R}$. При чём тут разбиение оси на интервалы $(n,n+1)$ --- непонятно.

Непонятно также, что задача делает в олимпиадном разделе, ибо она тривиальна. Предположив, что размерность $X_0$ конечна и равна какому-то натуральному числу $n$, очень легко прийти к противоречию, ибо функции из $X_0$ могут принимать произвольные наборы значений в произвольных фиксированных $n+1$ точках.

[Руст]

Да не заметил. Но это не меняет сути. Разделим интервал на подинтервалы $(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n})$. и возьмём функции $g_n(x)=g(2^{n}x)$, где $g(x)=f(x-1)*f(2-x)$ из предыждущего поста.
Если смущает точка 0, рассмотрим только конечные суммы (можно например полиномы не выше определённой степени от указанных $g_n(x)$ счётного числа переменных).

[Профессор Снэйп]

Я бы, кстати, усложнил задачу и спросил бы, чему равна размерность $X_0$ над $\mathbb{R}$.

[Руст]

Профессор Снэйп писал(а):

Я бы, кстати, усложнил задачу и спросил бы, чему равна размерность $X_0$ над $\mathbb{R}$.

Какая размерность. Если алгебраическая, можно сделать континиум. Если функциональная, то не больше счётного.

[Профессор Снэйп]

Руст писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Я бы, кстати, усложнил задачу и спросил бы, чему равна размерность $X_0$ над $\mathbb{R}$.

Какая размерность. Если алгебраическая, можно сделать континиум. Если функциональная, то не больше счётного.

Алгебраическая. То есть мощность базиса Гамеля.

Я не понимаю, что значит "можно сделать континуум". Пространство задано, его размерность либо равна континууму, либо не равна. По крайней мере, она равна тому, чему она равна, и ничего с этим не сделаешь. Можно лишь выяснить её значение.

Если Вы считаете, что искомая размерность равна континууму, то докажите это.

[Руст]

Если мы рассмотрим пространство бесконечно дифференцируемых функций

$$\sum_{i=0}^{\infty}x_ig_i(x)$$

с условием, что последовательность координат стремятся к 0, то оно удовлетворяет требуемым условиям Юстаса. Но алгебраическая размерность (базис Гамеля) имеет мощность континиум.

[Профессор Снэйп]

Руст писал(а):

Но алгебраическая размерность (базис Гамеля) имеет мощность континиум.

Это Ваше предположение или утверждение, которое Вы умеете доказывать?

[Руст]

Профессор Снэйп писал(а):

Руст писал(а):

Но алгебраическая размерность (базис Гамеля) имеет мощность континиум.

Это Ваше предположение или утверждение, которое Вы умеете доказывать?

Да умею. Но приводит это здесь бессмысленно, так как примерно это (о континуальности мощности базиса Гамеля счётных последовательностей) здесь ранее уже обсуждалась.

[Профессор Снэйп]

Руст писал(а):

Да умею. Но приводит это здесь бессмысленно, так как примерно это (о континуальности мощности базиса Гамеля счётных последовательностей) здесь ранее уже обсуждалась.

Ну а что Вам мешает дать ссылку на то обсуждение, а потом привести рассуждение, показывающее, как эта задача сводится к той?

[Юстас]

Профессор Снэйп писал(а):

Непонятно также, что задача делает в олимпиадном разделе, ибо она тривиальна. Предположив, что размерность $X_0$ конечна и равна какому-то натуральному числу $n$, очень легко прийти к противоречию, ибо функции из $X_0$ могут принимать произвольные наборы значений в произвольных фиксированных $n+1$ точках.

Не понял, к какому противоречию Вы собираетесь приходить? Например, возьмем полиномы степени не выше $n$.
Насколько известно мне, доказывать нужно, что размерность конечна. Пока бесконечномерного контрпримера с доказательством я не вижу.

[Руст]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну а что Вам мешает дать ссылку на то обсуждение, а потом привести рассуждение, показывающее, как эта задача сводится к той?

Я не хочу искать то обсуждение. Сводится очень просто. Ясно, что все функции $\sum_ix_kg_k(x)$ бесконечно дифференцируемы (за исключением разве что 0). Возьмём $x_i=y_i*exp(-exp(exp(i)))$ (кажется взял достаточное количество экспонент) и сопоставим (взаимно однозначно) каждой функции последовательность чисел $(y_1,y_2,...)$. Легко доказать, что если последовательность $y_i$ ограничена, то соответствующая функция бесконечно дифференцируема и в точке 0 (все производные там нули). Поэтому, достаточно рассмотрит пространство ограниченных (не равномерно, т.е. для каждой последовательности существует своя константа А, что все ччлены по модулю ограничены этим А) последовательностей чисел $(y_1,y_2,...)$. Это бесконечномерное векторное пространство, мощность базиса Гамеля которого равен континиуму.

[Юстас]

Руст писал(а):

Да не заметил. Но это не меняет сути. Разделим интервал на подинтервалы $(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n})$. и возьмём функции $g_n(x)=g(2^{n}x)$, где $g(x)=f(x-1)*f(2-x)$ из предыждущего поста.
Если смущает точка 0, рассмотрим только конечные суммы (можно например полиномы не выше определённой степени от указанных $g_n(x)$ счётного числа переменных).

Не понимаю, почему такое подпространство замкнуто: предел конечных линейных комбинаций может быть бесконечной суммой, которая в подпространстве не лежит.

[Руст]

Юстас писал(а):

Не понимаю, почему такое подпространство замкнуто: предел конечных линейных комбинаций может быть бесконечной суммой, которая в подпространстве не лежит.

Дело в том, что локально они конечномерны, если не брать полиномы даже одномерны. Т.е. для каждой точки за исключением нуля существует окрестность, ограничение функций на эту окрестность дает одномерное пространство.