Линейные подпространства.

[Slow]

Задача: Есть векторное пространство на полем из $q$ элементов. Нужно посчитать количество различных линейных подпространств размерности $k$. Я смог посчитать количество различных наборов базисных векторов \prod\limit_{i=1}^{k}(q^n-q^{(i-1)})$$, но дело в том что это не гарантирует того что порождаемые ими пространства различны. Соответственно как посчитать количество эквивалентных пространств?

[DeBill]

Slow
Формула верная (только надо помнить, что Вы сосчитали кол-во упорядоченных наборов).
Так в чем проблема то? Посмотрите, сколько способов выбрать базис в $k-$ мерном пространстве. Слава богу, это кол-во одно и тоже для всех подпространств (и дается вашей же формулой, в которой надо взять $n$ равным $k$). Поделите одно на другое - и будет вам счасте.

[iifat]

Если взять полный базис пространства, любое подпространство, как мне кажется, соответствует куску базиса. Не хочу доводить до конца, но, взяв любой базис любого подпространства, можно по одному заменять вектора базиса на наш изначальный, как в теореме о равенстве количества векторов различных базисов пространства. Пойду-ка я поищу правильную терминологию.

[Slow]

DeBill
Спасибо, оказывается до решения оставалось совсем чуть чуть, жаль сам не додумал , а вам спасибо большое.

DeBill в сообщении #1099590 писал(а):

Slow
только надо помнить, что Вы сосчитали кол-во упорядоченных наборов.

А вот об этом я кстати не подумал, но вроде бы когда в итоге поделим на \prod\limit_{i=1}^{k}(q^k-q^{(i-1)}), то одинаковые наборы с разным порядком уже не будут учитываться, так?
iifat

iifat в сообщении #1099609 писал(а):

Если взять полный базис пространства, любое подпространство, как мне кажется, соответствует куску базиса.

Вы говорите что любое подпространство можно разложить по куску базиса всего пространства?
Если я правильно понял, то возьмем вектора, где одна из позиций единица, а остальные нули. Эти вектора образуют базис всего пространства, но если взять вектор $(1,1,1,1)$ и вектор $(1,0,0,0)$, натянуть на них пространство, очевидно что у него размерность $2$, но вектор $(1,1,1,1)$ нельзя получить из двух векторов указанного выше базиса всего пространства.

[DeBill]

Slow в сообщении #1099645 писал(а):

не будут учитываться, так?
iifat

Да, все будет хорошо.

[iifat]

Slow в сообщении #1099645 писал(а):

Вы говорите что любое подпространство можно разложить по куску базиса всего пространства?

Да. Ерунду спорол.