Обязательно ли пользоваться формулой вершины параболы?

[Ktina]

Может ли вершина параболы

$$y=4x^2-4(a+1)x+a$$

лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении $a$?

В авторском решении используется формула абсциссы вершины параболы, но обязательно ли её использовать? А что, если участник олимпиады забыл эту формулу? Или, как говорят по-арабски, инситу бильбет?

Может, пойти более простым путём?
Наша парабола рожками вверх расположена, поэтому, если вершина во второй четверти, то все значения квадратичной функции, описываемой этой параболой, положительны. Однако, при $x=\dfrac{1}{4}$ наш игрек будет равен $-\dfrac{3}{4}$ при любом значении $a$, а это уже противоречие.
Таким образом, вершина не может лежать не только во второй, но даже и в первой четверти.

А вы бы засчитали такое решение?

[Legioner93]

Через формулу лучше

[iou]

Если вершина параболы лежит во второй координатной четверти, то парабола всегда лежит выше оси абсцисс (при условии $a>0$, что мы и наблюдаем в этой задаче). Поэтому, если при каком-то $x$ существует $y<0$, то и вершина параболы имеет отрицательную ординату (и не лежит в указанной четверти). Собственно, Ваше решение - верное.

[Ktina]

iou
Спасибо!