Тройка чисел

[rightways]

Докажите, что существуют три натуральных числа $a,b,c$ такие, что $a^2+b,b^2+c,c^2+a$ делятся на $2017$ но $a+b-2c$ не делится на $2017$.
Найдите хотя бы одну тройку $a,b,c<2017$

[Dmitriy40]

(Ответ, без доказательства)

$a=138, b=1126, c=817$
$a=206, b=1938, c=1827$
$a=817, b=138, c=1126$
$a=1126, b=817, c=138$
$a=1827, b=206, c=1938$
$a=1938, b=1827, c=206$

[Sonic86]

$p:=2017$ - простое
$b\equiv -a^2\pmod p$
$c\equiv -b^2\pmod p$
$a\equiv -c^2\pmod p$
$a\equiv-c^2\equiv-(-b^2)^2\equiv-b^4\equiv-a^8\pmod p$
$a^7\equiv-1\pmod p$
$p-1=2^5\cdot 3^2\cdot 7, 7\mid p-1$, значит есть $7$ решений этого сравнения
значит есть 7 троек $(a,b,c)$, причем все ненулевые.
наконец $a+b-2c\equiv-c(c^3+c+2)\equiv 0\pmod p\Leftrightarrow c^3+c+2\equiv 0\pmod p$ - имеет не более 3-х решений, т.к. $\mathbb{Z}_p$ - поле. Значит есть как минимум $7-3=4$ тройки $(a,b,c)$, удовлетворяющие условию задачи (а м.б. их еще больше - все 7 например).