Глупый вопрос по определению деления с остатком

[deep blue]

Норма в $\mathbb{Z}$ это модуль числа. Поэтому можно определить деление с остатком как $a=qb+r$ и либо $r=0$, либо $N(r)<N(b)$
Такое определение допускает отрицательные остатки. Например: $5=6\cdot1-1$
Почему стандартное определение их не допускает? Не противоречит ли оно определению нормы в $\mathbb{Z}$, и какая норма "правильная"?

[arseniiv]

При чём здесь вообще норма?

deep blue в сообщении #1098254 писал(а):

Почему стандартное определение их не допускает?

Потому что удобно иметь $a\bmod b$ периодической функцией $a$ и одновременно иметь неотрицательные остатки, если $a,b\geqslant0$.

-- Ср фев 10, 2016 03:14:06 --

deep blue в сообщении #1098254 писал(а):

Поэтому можно определить деление с остатком как $a=qb+r$ и либо $r=0$, либо $N(r)<N(b)$
Такое определение допускает отрицательные остатки. Например: $5=6\cdot1-1$

Я так понял, в последнем равенстве делится $5$ на $6$? (Если сравнить равенство с $a=qb+r$, то получится $b = 1$, и условия не удовлетворены.) Тогда вот ответ: $5 = 6\cdot0+5$, и имеем два варианта частного вместе с двумя вариантами остатка — знатное улучшение!

[deep blue]

arseniiv в сообщении #1098272 писал(а):

При чём здесь вообще норма?

Мы ведь хотим единообразное определение для всех колец, поэтому приходится иметь дело с нормой. Вот это определение(в конце через норму определяется деление с остатком):

arseniiv в сообщении #1098272 писал(а):

Потому что удобно

Удобно то удобно, но нужно чтоб определение было единообразно для всех колец.

arseniiv в сообщении #1098272 писал(а):

и имеем два варианта частного вместе с двумя вариантами остатка — знатное улучшение!

В $\mathbb{Z}[i]$ вариантов частного и остатка несколько, это не мешает работать с таким определением деления. Так чем $\mathbb{Z}$ так отличилось от $\mathbb{Z}[i]$ что пришлось вводить другое определение или что я не понимаю?

В последнем равенстве делится 5 на 6, там $5=1\cdot6-1$, получается $b=6$ я это имел ввиду.

[demolishka]

Кольца, знаете ли, разные бывают. И в общем случае не ясно, чем один вариант остатка лучше другого. Зато это ясно в случае кольца целых чисел.

[deep blue]

Кольца бывают разные, а на картинке дано единое определение для всех колец.
Как соотнести это единое определение с определением в $\mathbb{Z}$ чтобы они друг другу не противоречили? Я вижу только один способ - изменить норму. Но норма в $\mathbb{Z}$ это ведь модуль.

[Brukvalub]

deep blue в сообщении #1098322 писал(а):

Так чем $\mathbb{Z}$ так отличилось от $\mathbb{Z}[i]$ что пришлось вводить другое определение или что я не понимаю?

Элементы кольца целых чисел упорядочены, что позволяет задать операцию деления с остатком однозначно.

[whitefox]

deep blue в сообщении #1098254 писал(а):

Почему стандартное определение их не допускает? Не противоречит ли оно определению нормы в $\mathbb{Z}$

Не противоречит потому, что и для "стандартного" определения остатка $0 \leqslant r < |b|$ условие

deep blue в сообщении #1098254 писал(а):

либо $r=0$, либо $N(r)<N(b)$

выполняется. Но в последнем случае остаток определён неоднозначно, например $12=2\cdot5+2=3\cdot5-3.$ И "стандартное" определение было принято для исключения неоднозначности. Слово стандартное в кавычках потому, что существуют и другие, не менее "стандартные", способы исключения неоднозначности.

[deep blue]

whitefox
Спасибо за пример и разъяснения, теперь я понял свой глюк. Я почему-то думал, что при выборе остатка нужно сравнивать $N(2)$ с $N(-3)$, а на самом деле $N(2)$ с $N(5)$ и $N(-3)$ с $N(5)$