уравнение нормали

[modz]

Помогите пожалуйста решить примерчик один:
Написать уравнение нормали к поверхности 4-x^2-y^2-z=0 параллельно прямой x=y=z.
Какое хотя бы уравнение нормали в общем виде?

[TOTAL]

modz писал(а):

Написать уравнение нормали к поверхности 4-x^2-y^2-z=0 параллельно прямой x=y=z.
Какое хотя бы уравнение нормали в общем виде?

Понимаете ли условие задачи? Если да, то что именно надо построить (найти)?

[Алексей К.]

modz писал(а):

Написать уравнение нормали к поверхности 4-x^2-y^2-z=0 , параллельноЙ прямой x=y=z.

TOTAL, за что критикуете? За одну зпт и одну пропущенную буковку? Условие вроде понятное: среди ёжика нормалей найти ту, которая параллельна этой прямой и написать её уравение. Чо-то не врубаюсь в Вашу реакцию...

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Если только за то, что аскер в учебник не лезет, а от нас этого требует...

[Профессор Снэйп]

Если поверхность задана уравнением $f(x,y,z)=0$, то в точке $(x_0,y_0,z_0)$, принадлежащей поверхности, вектор нормали обычно параллелен градиенту $\nabla f (x_0,y_0,z_0)$. Вот и ищите точку поверхности, градиент в которой параллелен вектору $(1,1,1)$.

[Алексей К.]

Не надо Вам уравнения нормали да ещё в ощем виде (поспешил, --- надо, конечно; но для начала ---) Компоненточки вектора нормали сыскать, да проверить, когда они окажутся $n_x=n_y=n_z$?

[Azog]

Мда думаю автор обалдел))
Я бы просто через определение нормали сказал, что она перпендикулярная тому-то - первые уравнения, и записал условие Вашей задачи. Думаю должно получиться. А вообще - то в любом учебнике по ангему это есть.

[bot]

А мне кажется TOTAL правильно спросил. Он хочет, чтобы автор вопроса не просил готовый рецепт, а разобрался бы с вопросами:
1) что такое нормаль к поверхности?
2) в какой форме нормаль можно задать?
3) что означает параллельность нормали и заданной прямой?
4) какая форма здесь наиболее подходящая?

[modz]

Уф, скока всего написали. Нормаль на сколько я осведомлен-это прямая перпендикулярная данной поверхности. В какой форме задавать не знаю по этому и интерисовался у вас. Параллельность означает что углы к осям у нормали и прямой одинаковы.
А как решить эту задачу я так и не понял.
так:

Цитата:

Если поверхность задана уравнением , то в точке , принадлежащей поверхности, вектор нормали обычно параллелен градиенту . Вот и ищите точку поверхности, градиент в которой параллелен вектору .

или так:

Цитата:

Не надо Вам уравнения нормали да ещё в ощем виде. Компоненточки вектора нормали сыскать, да проверить, когда они окажутся ?

Сор если что ни так написал.

[Brukvalub]

Нормаль к поверхности, которая в окрестности своей точки ( а ; b ; c ) неявно гладкой функцией:

\[f(x\;;\;y\;;\;z) = 0\]

записывается каноническим уравнением:

\[ \frac{{x - a}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(a\;;\;b\;;\;c)}} = \frac{{y - b}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(a\;;\;b\;;\;c)}} = \frac{{z - c}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial z}}(a\;;\;b\;;\;c)}} \]

[modz]

А что эта за точка такая (a,b,c) в данном примере?

[Алексей К.]

$a,b,c$ --- точка, в которой вы строите нормаль.

modz писал(а):

А как решить эту задачу я так и не понял.
так:
.........
или так:
.........

Да как угодно (ещё "третий способ" не показан, когда имеется явное выражение $z=f(x,y)$.
Так или так --- выбирайте что ближе к Вашим учебникам/конспектам/голове.
Ищите частные производные $\partial f/\partial x$, и т. д. --- компоненты вектора нормали...

Ищем точку $(a,b,c)$, в которой потом нормаль будем строить.
Ищем точку $(a,b,c)$ по тому признаку, что все 3 компоненты вектора нормали одинаковы:

modz писал(а):

параллельно прямой x=y=z.

Ищем эти компоненты в произвольной точке x,y,z на поверхности:
$\partial f/\partial x=-2x$, $\partial f/\partial y=-2y$, $\partial f/\partial z=?$

Прямая Ваша такова, что все три компоненты искомого вектора нормали должны быть одинаковы. В какой точке $\partial f/\partial x=\partial f/\partial y=\partial f/\partial z$?
Получаем (простенькую) систему (простеньких) уравнений.

[Профессор Снэйп]

modz писал(а):

А как решить эту задачу я так и не понял.
так:

Цитата:

Если поверхность задана уравнением , то в точке , принадлежащей поверхности, вектор нормали обычно параллелен градиенту . Вот и ищите точку поверхности, градиент в которой параллелен вектору .

или так:

Цитата:

Не надо Вам уравнения нормали да ещё в ощем виде. Компоненточки вектора нормали сыскать, да проверить, когда они окажутся ?

Это одно и то же, равно как и всё, что Вам посоветовали после этого сообщения.

Если Вы не знаете, что такое градиент, то знайте, что он определяется следующим образом:

$$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $$

Нахождение компонент вектора нормали равносильно нахождению компонент градиента, то есть трёх частных производных. Это то самое, что Вам советует делать Brukvalub и все остальные участники дискуссии.

[modz]

Спасибо всем. Завтра напишу как я его решу (если решу конечно )

[modz]

Нашел как можно написать уравнение нормали проходящая через точку. Какая в моей задачи эта точка? Я знаю что это как то связано с параллельностью 2-х прямых, а как именно пока что для меня загадка.
Напишите плиз какая это точка
Только не пишите что вы все мне уже объяснили, я это прекрасно знаю, но какие координаты точки я так и не понял

[bot]

modz писал(а):

Напишите плиз какая это точка

Нет уж, давайте лучше, напишите, что именно Вы нашли...

modz писал(а):

Нашел, как можно написать уравнение нормали, проходящей через точку

исправил рюский языка.
Ну и как? А в этом ли вопрос? Если точка, через которую надо провести нормаль, будет Вам известна, то Вы, наверное, эту нормаль напишете. Значит что?

modz писал(а):

Какая в моей задачи эта точка?

Верно - надо найти эту точку.

Цитата:

Я знаю что это как то связано с параллельностью 2-х прямых, а как именно пока что для меня загадка.

Да, конечно, связана - об этом говорили. Ну и что требуется? Как проверить параллельность прямых, если они заданы в той конкретной форме, в которой Вы можете написать нормаль и в какой форме можно считать задана прямая x=y=z?