Как не потерять решение?

[schekn]

Решая одну задачку, столкнулся с таким интегралом.

$$I=\int_{0}^{\pi}{ \frac{r-R\cos{\varphi}}{(r^2-2rR\cos{\varphi}+R^2)^{3/2}}d{\varphi}}$$

Не мудрствуя лукаво поместил его в один мат-пакет и получил:

$$I=0, \quad r<R $$

$$I=\frac{2}{r^2}, \quad r>R $$

Однако, правильно ли я все сделал? Все ли решения нашел?

Из физических соображений, я знаю, что потерял очень важное решение при $r=R$.
А именно:

$$ I=1/R^2, r=R $$

Вопросы:

1. Как по виду интеграла не потерять решение, используя мат-пакет?
2. Что делать, если интеграл не берется явно, а только численно?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

schekn

schekn в сообщении #1097840 писал(а):

1. Как по виду интеграла не потерять решение, используя мат-пакет?

В вашем вопросе содержится ответ на другой вопрос - а зачем прикладникам учить всякие там анализы? Ведь сунешь все в матпакет - и вот тебе ответ... Так что ответ - культуру математическую чтобы заиметь, чтобы понимать - кого можно сувать, а кого нет. По большому счету - если нет каких-то особенностей - неприятностей у интеграла, то, обычно, все хорошо будет. Ещё глюки у них бывают при извлечении корней : $\sqrt{x^2} = x$, что, конечно, неверно.
Ну, а конкретно, например, про Ваш интеграл:
1. Мы видим, что при $R=r$ интеграл этот расходится (равен бесконечности...)
2. Мы видим, что подынтегральная функция равна производной по $r$ от более приличной функции. Соответствующий "приличный" интеграл - после универсальной тригонометрической подстановки, например) сводится к эллиптическому интегралу первого рода. Если бы Ваши интегралы (при $r<R$) были бы нулевыми, то эллиптические функции считались бы явно - ан нет...
3. Выводы: не того кого то Вы сували ...
4. По Вашим ответам можно понять, что же Вы считали: силу притяжения сферы с равномерным распределением заряда. Ну, и просто потеряли синус под интегралом... Да?

[schekn]

DeBill в сообщении #1097905 писал(а):

$\sqrt{x^2} = x$, что, конечно, неверно.

Как раз мат пакет этот нюанс обрабатывает правильно.

DeBill в сообщении #1097905 писал(а):

По Вашим ответам можно понять, что же Вы считали: силу притяжения сферы с равномерным распределением заряда. Ну, и просто потеряли синус под интегралом... Да?

Ну почти угадали. Только силу гравитации и нейтральную сферу.
Да, правы, синус все-таки потерял , переписывая из черновика. Так следует написать в первом сообщении:

$$I=\int_{0}^{\pi}{ \frac{\sin{\varphi}(r-R\cos{\varphi})}{(r^2-2rR\cos{\varphi}+R^2)^{3/2}}d{\varphi}}$$

А если интеграл будет запутанный и не возьмется в явном виде в особой точке? Я же могу тогда численно неверно его рассчитать при $r>R$ просто аксиоматически приближаясь к $r=R$ справа.

[Brukvalub]

schekn в сообщении #1097920 писал(а):

просто аксиоматически приближаясь к $r=R$ справа.

Напишите список аксиом, по которым можно так ловко аксиоматически приближаться!

[DeBill]

schekn в сообщении #1097920 писал(а):

А если интеграл будет запутанный и не возьмется в явном виде в особой точке?

Вот как раз в особых точках часто и удается явно сосчитать что-то. Ну, а вооще - применяйте асимптотические методы - их есть много, на все случаи жизни. Т.е., все численные расчеты надо контролировать всякими предельными ситуациями - в которых удается ручками явно посчитать...

[Someone]

http://dxdy.ru/post60346.html#p60346

schekn в сообщении #1097920 писал(а):

А если интеграл будет запутанный и не возьмется в явном виде в особой точке?

schekn в сообщении #1097920 писал(а):

$$I=\int_{0}^{\pi}{ \frac{\sin{\varphi}(r-R\cos{\varphi})}{(r^2-2rR\cos{\varphi}+R^2)^{3/2}}d{\varphi}}$$

И что бы просто подставить $r=R$ и вычислить интеграл? Или убедиться, что он расходится.

А кто Вам мешает рассмотреть пределы при $r\to R^+$ и при $r\to R^-$? И попробовать их проинтерпретировать.

Вы ведь вычисляете силу гравитационного взаимодействия точечной массы и массивной бесконечно тонкой оболочки? А Вы не видите, что особенность заложена в самой постановке задачи?

[schekn]

Someone в сообщении #1097954 писал(а):

Вы ведь вычисляете силу гравитационного взаимодействия точечной массы и массивной бесконечно тонкой оболочки? А Вы не видите, что особенность заложена в самой постановке задачи?

Ну правильно, из физики было понятно, что там есть особенность, мне было интересно, как это математически при интегрировании получается не просто скачок в решении, а еще и особенное точечное решение в момент скачка. Я мог легко прохлопать это третье решение, то есть сообразить подставить $r=R$ и неожиданно получить совсем другой интеграл.
На эту ссылку раньше не натыкался.

Так если подставить во внешнее решение $r=R$ получается $2/R^2 $, . А это неправильно. Должно быть в 2 раза меньше.

[Someone]

schekn в сообщении #1097983 писал(а):

еще и особенное точечное решение в момент скачка

Нет там никакого "точечного решения". Вы о чём вообще говорите?

schekn в сообщении #1097983 писал(а):

Так если подставить во внешнее решение $r=R$ получается $2/R^2 $, . А это неправильно. Должно быть в 2 раза меньше.

У меня всё правильно получается: снаружи — $\frac{\gamma m_1m_2}{R^2}$, внутри — $0$. А что и куда Вы подставляете, и почему должно быть в два раза меньше — продемонстрируйте.

[schekn]

Someone в сообщении #1097995 писал(а):

У меня всё правильно получается
: снаружи — $\frac{\gamma m_1m_2}{R^2}$, внутри — $0$. А что и куда Вы подставляете, и почему должно быть в два раза меньше — продемонстрируйте.

Изначально у меня была задача о движении двух вложенных разреженных тонких сфер, которые движутся под действием силы тяжести, которую они сами же и создают, к центру и пересекаются. Задачка любопытная , могу где-то изложить. И я сначала неправильно составил уравнение движения, а потом сообразил, почему.
На точку , расположенной на самой сфере , сила действует от нее же самой вот такая: — $\frac{\gamma m_1m_2}{2R^2}$ $m_1$ - масса сферы, $m_2$- масса точки на сфере и уравнения получаются другие, нежели, когда точка падает на сферу, что мне показалось интересным. Это и есть половинное третье решение.

[Someone]

schekn в сообщении #1098070 писал(а):

На точку , расположенной на самой сфере , сила действует от нее же самой вот такая: — $\frac{\gamma m_1m_2}{2R^2}$

Во-первых, Вы это сами придумали, и это ни откуда не следует. Если сфера (точнее, оболочка) имеет ненулевую толщину, то сила зависит от конкретного положения материальной точки. Если же сфера имеет нулевую толщину, то сила просто не определена.
Во-вторых, для движения тела (конечное) значение силы в одной точке не играет ни какой роли. Какое бы значение Вы ни приписали этой силе, на движение тела она никак не повлияет.

Если Вы рассчитываете движение сферической оболочки под действием самогравитации, то такую величину силы надо как-то обосновать.

[schekn]

Someone в сообщении #1098073 писал(а):

Если Вы рассчитываете движение сферической оболочки под действием самогравитации, то такую величину силы надо как-то обосновать.

Да, именно я рассматривал движение оболочки под действием самогравитации по Ньютону и использовал выражение для силы как раз в 2 раза меньше. И даже консультировался с одним препом по этому поводу. Ну хотите разобрать эту задачку в физическом разделе? Я сначала рассуждал , как Вы и по видимому это ошибка. Интеграл, который в результате получается при интегрировании по сфере при $r=R$ , 2 раза меньше, чем снаружи. Это я и обнаружил математически.

[Someone]

Видите ли, некоторый резон в том, что силу надо взять вдвое меньше, есть. Но как Вы это получили "математически", очень интересно.

schekn в сообщении #1098078 писал(а):

Ну хотите разобрать эту задачку в физическом разделе?

Пока тут больше математики, чем физики. Поэтому пока можно здесь.

[schekn]

Буду писать в тех обозначениях, как у меня в черновике и на рисунке.
Тонкая сферическая оболочка массой $M$ и радиуса $R$ притягивает точечное тело массой $m_0$ на расстоянии $r $ от центра сферы. Масса сферы $M=4{\pi}R^2\sigma$, $\sigma$- поверхностная плотность. Вырезаем полосу на сфере , как на рисунке.
Площадь полосы:

$$dS=2{\pi}aRd{\varphi}=2{\pi}R\sin{\varphi}Rd{\varphi} \quad(1)$$

Масса полосы:

$$dM={\sigma}dS=\frac{M}{4{\pi}R^2}2{\pi}R^2\sin{\varphi}d{\varphi}=\frac{M}{2}\sin{\varphi}d{\varphi}\quad(1)$$

Закон Ньютона (проекция силы на ось OX) :

$$dF_{x}=-\frac{dMm_0G}{L^2}\cos{\alpha}=-\frac{dMm_0G}{L^3}(r-R\cos{\varphi}) \quad(3)$$

$$L^2=R^2\sin^2{\varphi}+(r-R\cos{\varphi})^2$$

$$dF_{x}=-\frac{Mm_0G\sin{\varphi}(r-R\cos{\varphi})d{\varphi}}{2(r^2+R^2-2rR\cos{\varphi})^{3/2}}\quad(4) $$

Интегрирование по углу дает:

при $r>R$

$$F_{x}=\int_{0}^{\pi}dF_{x}=-\frac{Mm_0G}{r^2} \quad(5) $$

При $ r=R$ :

$$dF_{x}=-\frac{Mm_0G}{2}\frac{\sin{\varphi}d{\varphi}}{\sqrt{1-\cos{\varphi}}}\frac{1}{2^{3/2}R^2} \quad(6)$$

$$F_{x}=-\frac{Mm_0G}{2R^2} \quad(7)$$

Уравнение движения точки на оболочке (и целиком оболочки в своем поле):

$$\ddot{r}=-\frac{MG}{2r^2}\quad(8)$$