Реализация аксиоматики Вейля.

[songbird]

Здравствуйте. В какой книге можно почитать про физическую реализацию евклидовой геометрии размерности 3 на основе аксиоматической системы Вейля? Пытался проделать её сам, сопоставив "точке" небольшое материальное тело, а "вектору" тонкий, твердый стержень, у которого указано "начало" и "конец", но дальше этого уехать не удалось.

[Someone]

songbird в сообщении #1097651 писал(а):

В какой книге можно почитать про физическую реализацию евклидовой геометрии размерности 3

Ни в какой. Евклидова геометрия (как и любое другое математическое понятие) — это логическая конструкция, а не физический объект. Она существует исключительно в человеческой психике, а не в физическом мире.

[songbird]

Да, я понимаю, что это логическая конструкция, не имеющая отношения к реальному миру. Попробую переформулировать свой вопрос. Можно ли указать такую набор реальных объектов, которые, будучи сопоставлены неопределяемым понятиям из вышеназванной аксиоматической системы окажутся в тех же соотношениях, что и неопредяемые понятия, связанные аксиомами? Я, конечно, не очень точно выражаюсь. Такой вопрос у меня возник после прочтения 2-го параграфа 1 главы следующей книги: "Основания механики. Методические аспекты" Журавлев В.Ф. В книге того же автора "Основы теоретической механики" производится сопоставление евклидова 3-мерного пространства и "пространства неподвижных звёзд", что не совсем ясно. Может быть мой вопрос надо было задать в разделе "Физика"?

[Someone]

songbird в сообщении #1097659 писал(а):

Такой вопрос у меня возник после прочтения 2-го параграфа 1 главы следующей книги: "Основания механики. Методические аспекты" Журавлев В.Ф. В книге того же автора "Основы теоретической механики" производится сопоставление евклидова 3-мерного пространства и "пространства неподвижных звёзд", что не совсем ясно.

Где именно? Точное место в книге укажите (обе у меня есть).

[songbird]

Введение, параграф первый книги "Основы теоретической механики". Страница 9. Год издания:2001.

[Someone]

Может быть, Вам будет понятнее, если слово "реализация" (неудачное, на мой взгляд), которым пользуется Журавлёв, заменить словом "интерпретация": логические конструкции мы интерпретируем, сопоставляя им какие-то "штуки" в реальном мире. Это даёт нам возможность интерпретировать результаты наших расчётов и сопоставлять их с наблюдениями и измерениями. В результате наша логическая конструкция оказывается моделью какой-то части нашего мира.

Конкретно евклидово пространство является моделью метрических отношений в физическом мире, которые проявляются в возможности измерения расстояний. Практика показывает, что эта модель очень хорошая. Очень точные измерения могут обнаружить отклонения результатов измерений от евклидова пространства, но на этот случай у нас есть СТО (если гравитация несущественна) и ОТО (если нужно учитывать гравитацию).

[songbird]

Хорошо, первый абзац я понял. Меня интересуют подробности моделирования метрических отношений в физическом мире евклидовым пространством. То есть, если я правильно понял, какие объекты реальности ставятся в соответствие таким категориям, как "точка" и "вектор"? Каким образом следует интерпретировать на реальных объектах операции сложения, умножения на число, скалярного произведения, связанные с векторами? Пытался найти информацию в курсах общей физике. К примеру, в "Механике" Сивухина говорится о сопоставлении "прямой" луча света, если я правильно понял. Но там подразумевается геометрия на другой аксиоматике и информации по-этому вопросу совсем немного.

[Someone]

songbird в сообщении #1097698 писал(а):

Меня интересуют подробности моделирования метрических отношений в физическом мире евклидовым пространством.

Метрические отношения дают возможность измерять расстояния между материальными точками. Вот эти измерения и моделируются. А такие вещи, как вектор, скалярное произведение и т.п. — это вторичные логические конструкции. Они вовсе не обязаны соответствовать каким-либо физическим объектам.

[songbird]

А-а, то есть, не всяким "объектам" в логической конструкции обязательно ставить какие-то реальные объекты. К примеру (если он правильный), в классической механике выделяются некоторые "точки" евклидова точечного пространства и им ставятся в соответствие материальные тела относительно малых размеров. Остальные "точки" этого пространства не трогаются. Или такой пример: имеется некоторая конструкция в реальности, сложенная из твердых стержней и напоминающая "треугольник". Вершинам данной конструкции ставятся в соответствие "точки" из $\mathbb{E}^3$ "точечного", а сторонам "векторы" из $\mathbb{E}^3$ "векторного", соответствующие этим "точкам". А также сопоставляется длина стержней в реальности модулям векторов. Затем уже проверяются, как выполняются следствия для модулей векторов на "длинах" стержней конструкции вышеназванной. Правильно я понимаю?

[arseniiv]

Кстати, не обязательно сопоставлять стержни именно векторам — в аффинном пространстве отрезки нормально определяются. А из-за того, что наши пространства ещё и евклидовы, можно будет вместо вектора сопоставить 1-форму или какие-нибудь страшные тензорные произведения таких векторов и 1-форм. Или ещё что-нибудь.