Повторное действие производной не равное второй производной?

[Divergence]

Известно, что действие частных производных по разным переменным в общем случае не перестановочно (например, для разрывных функций)

$$\frac{\partial^2 g (x,y)}{\partial x \partial y} \ne \frac{\partial^2 g (x,y)}{\partial y \partial x} .$$

Возник вопрос, всегда ли повторное действие первой производной (по той же переменной) равно второй производной, или нет?
Для простоты рассмотрел следующие определения (а ля из 1 курс матана), но не смог понять как найти пример функции, для которой равенство не выполняется.

Определим первую и вторую производные функции $f(x):=g(x,y)$ формулами

$$\frac{\partial f (x)}{\partial x}(x_0) := \lim_{h \to 0+} \frac{1}{h} \left(f(x_0+h)-f(x_0)\right),$$

$$\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}(x_0) := \lim_{h \to 0+} \frac{1}{h^2} \left( f(x_0+2 \, h)-2 \, f(x_0+h)+f(x_0) \right).$$

Тогда повторное действие первой производной

$$ \frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{\partial f (x)}{\partial x} \right)(x_0) := \lim_{h_2 \to 0+} \frac{1}{h_2} \left( \left(\frac{\partial f (x)}{\partial x} \right)(x_0+h_2) - \left(\frac{\partial f (x)}{\partial x} \right)(x_0) \right) = $$

$$= \lim_{h_2 \to 0+} \frac{1}{h_2} \left( \lim_{h_1 \to 0+} \frac{1}{h_1} \left( f(x_0+h_1+h_2)- f(x_0+h_2) - f(x_0+h_1)+f(x_0) \right)\right) . $$

Вопрос существуют ли функции, для которых следующее равенство не выполняется

$$ \lim_{h_2 \to 0+} \frac{1}{h_2} \left( \lim_{h_1 \to 0+} \frac{1}{h_1} \left( f(x_0+h_1+h_2)- f(x_0+h_2) - f(x_0+h_1)+f(x_0) \right)\right) =$$

$$ =\lim_{h_3 \to 0+} \frac{1}{h^2_3} \left( f(x_0+2 \, h_3)-2 \, f(x_0+h_3)+f(x_0) \right) $$

то есть левая сторона равенства не равна правой, или одна из сторон существует, а другая не существует?

[GAA]

Было. (Cм., например, в Фихтенгольце).

[Divergence]

Спасибо

[tolstopuz]

Divergence в сообщении #1097566 писал(а):

или одна из сторон существует, а другая не существует?

Рудин, упражнение 5.11 (в старом русском издании упражнение 5.3).