Колмогорова-2014

[Navid]

Многочлен $P(x, y, z)$ с вещественными коэффициентами называется прикольным, если при всех ненулевых $x, y, z$ верно равенство $P(x, y, z) = P(xy, 1/y, yz) = P(x, yz, 1/z)$. Докажите, что существуют три прикольных многочлена $A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z)$ такие, что любой прикольный многочлен $P(x, y, z)$ представляется в виде $P(x, y, z) = Q(A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z)) $ для некоторого многочлена $Q(u, v, w)$ с вещественными коэффициентами

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: предположительно сюда.

[DeBill]

Обе подстановки инволютивны (сами себе обратны), так что разные мономы (будем временно допускать отрицательные показатели) переходят в разные. Значит, коэффициенты мономов не меняются; посмотрим, как меняются показатели. При первой:тройка показателей $(i,j,k)$ переходит в тройку $(i,i-j+k,k)$; при второй: $(i,j,k)$ переходит в тройку $(i,j,j-k)$. Поскольку в результате подстановки получается таки многочлен, допустимыми показателями для $P$ являются лишь те, для которых выполняется условие
$i\geqslant j-k \geqslant 0$. Значит, переразложением $P$ можно превратить в многочлен $S$ от мономов $u=x, v=xy, w=xyz$. Но первая подстановка не меняет $w$, и переставляет $u$ и $v$, вторая - не меняет $u$ и переставляет $v$ и $w$. Значит, $S$- симметрический от переменных $u,v,w$. Осталось применить теорему о симметрических многочленах - и дело в шляпе!