Конфуз с непрерывностью

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Прошу помочь разрешить одно затруднение.

Рассмотрим, к примеру, $L^p ([0,1])$ с мерой Лебега и $0 < p < 1$ над полем $\mathbb{C}$. Известно, что такое пространство не является локально выпуклым, а потому всякое непрерывное линейное отображение из $L^p ([0,1])$ в локально выпуклое ТВП есть нулевое. Пусть $N \subset L^p$ есть подпространство конечной коразмерности. В силу единственности векторной топологии в конечномерных пространствах, $L^p/_N$ (фактор) можно отождествить с $\mathbb{C}^n$. Факторотображение $\pi : L^p \rightarrow L^p/_N$, как известно, непрерывно. Но поскольку $L^p/_N$ можно отождествить с $\mathbb{C}^n$, а последнее локально выпукло, то $\pi = 0$! В чем подвох?

p.s. в векторную топологию включаю также хаусдорфовость.

[red_alert]

Факторпространство ТВП $X$ по подпространству $X_0$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда $X_0$ замкнуто в $X$. В данном случае ни одно подпространство конечной коразмерности не замкнуто. А нехаусдорфовых векторных топологий на конечномерном пространстве много.

[Grabovskiy]

red_alert
Точно, спасибо!