2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 21:53 


14/10/15
120
Для любых ли матриц $A$ и $B$, таких что $A^3=B^3$ будет верно $A=B$.

Есть идея такая $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.

То есть осталось проверить, возможно ли при $A\ne B$ равенство $A^2-AB+B^2=0$. Интуиция подсказывает, что ввиду симметрии не могут быть матрицы различными ,но как строго доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 21:57 
Модератор


20/03/14
11493
Не для любых. Например. Легко придумать две разные ненулевые матрицы, третья степень каждой из которых - матрица нулевая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
mr.tumkan2015 в сообщении #1097172 писал(а):
Есть идея такая $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Проверим:
$(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3+A^2B+AB^2-BA^2-BAB-B^3.$
Как-то не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Обычная ошибка начинающего- предполагать коммутативность умножения матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение05.02.2016, 23:38 


14/10/15
120
Спасибо, разобрался!

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 00:57 
Заслуженный участник


10/01/16
2288
mr.tumkan2015

$(\frac{-1+\sqrt{3}\cdot i}{2})^3=1$ :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 09:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7869
Москва
Для симметричных это выполняется. Для общего вида - нет. Причём два разных способа невыполнения тут уже указали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 11:08 
Заслуженный участник


23/07/08
9051
Харьков
Вот ещё.
$\begin{bmatrix}0&0&-i\\i&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}^3=E$
http://mathworld.wolfram.com/k-Matrix.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10366
Hogtown
Евгений Машеров в сообщении #1097236 писал(а):
Для симметричных это выполняется.

Если для комплексных матриц--то для эрмитовых

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7869
Москва
Red_Herring в сообщении #1097246 писал(а):
Если для комплексных матриц--то для эрмитовых


Да, безусловно. Но я имел в виду только действительные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B
Сообщение06.02.2016, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2860
Уфа
Ну и на закуску можно вспомнить, что всякое комплексное число $a+ib$ можно представить вещественной матрицей $$\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$ (с сохранением умножения и сложения).

-- Сб фев 06, 2016 17:52:37 --

А, ну да, я вижу, что уже вспомнили:
DeBill в сообщении #1097215 писал(а):
mr.tumkan2015

$(\frac{-1+\sqrt{3}\cdot i}{2})^3=1$ :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group