Проверка "матричного" утверждения A^3=B^3 => A=B

[mr.tumkan2015]

Для любых ли матриц $A$ и $B$, таких что $A^3=B^3$ будет верно $A=B$.

Есть идея такая $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.

То есть осталось проверить, возможно ли при $A\ne B$ равенство $A^2-AB+B^2=0$. Интуиция подсказывает, что ввиду симметрии не могут быть матрицы различными ,но как строго доказать?

[Lia]

Не для любых. Например. Легко придумать две разные ненулевые матрицы, третья степень каждой из которых - матрица нулевая.

[Munin]

mr.tumkan2015 в сообщении #1097172 писал(а):

Есть идея такая $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Проверим:
$(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3+A^2B+AB^2-BA^2-BAB-B^3.$
Как-то не получается.

[Brukvalub]

Обычная ошибка начинающего- предполагать коммутативность умножения матриц.

[mr.tumkan2015]

Спасибо, разобрался!

[DeBill]

mr.tumkan2015

$(\frac{-1+\sqrt{3}\cdot i}{2})^3=1$

[Евгений Машеров]

Для симметричных это выполняется. Для общего вида - нет. Причём два разных способа невыполнения тут уже указали.

[svv]

Вот ещё.
$\begin{bmatrix}0&0&-i\\i&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}^3=E$
http://mathworld.wolfram.com/k-Matrix.html

[Red_Herring]

Евгений Машеров в сообщении #1097236 писал(а):

Для симметричных это выполняется.

Если для комплексных матриц--то для эрмитовых

[Евгений Машеров]

Red_Herring в сообщении #1097246 писал(а):

Если для комплексных матриц--то для эрмитовых

Да, безусловно. Но я имел в виду только действительные.

[worm2]

Ну и на закуску можно вспомнить, что всякое комплексное число $a+ib$ можно представить вещественной матрицей

$$\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$

(с сохранением умножения и сложения).

-- Сб фев 06, 2016 17:52:37 --

А, ну да, я вижу, что уже вспомнили:

DeBill в сообщении #1097215 писал(а):

mr.tumkan2015

$(\frac{-1+\sqrt{3}\cdot i}{2})^3=1$