2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:03 


18/05/14
32
Читаю книгу Кемени, Снелла "Конечные марковские цепи", дана информация из order theory. Дано отношение $T$ на $U$ слабого порядка (weak ordering), то есть выполнены отношения рефлексивности и транзитивности. Определяется минимальный элемент. $a \in U$ такой, что если $aTx$, то $xTa$ для $\forall x \in U$. Затем написано, максимальный элемент определяется аналогично. Но насколько я понимаю, под это отношение подходит как $\leq$, так и $\geq$. Отсюда вопрос, чем отличаются максимальный и минимальный элемент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:21 


20/03/14
12041
EgZvor в сообщении #1097127 писал(а):
Отсюда вопрос, чем отличаются максимальный и минимальный элемент?

В зависимости от того, какое отношение ($\leq$ или $\geq$) Вы будете использовать, получится определение максимального либо же минимального элемента. Только вот кванторы лучше в начале писать, а то прочтение может оказаться некорректным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:27 


18/05/14
32
Lia

Lia в сообщении #1097135 писал(а):
В зависимости от того, какое отношение ($\leq$ или $\geq$)

Мне кажется, должно быть для каждого отношения определение как максимального, так и минимального элемента. И в случае $\leq$ и $\geq$ они будут противоположными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:32 


20/03/14
12041
Но ведь оно "одно и то же". $(a\le b) \Leftrightarrow (b\ge a)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:47 


18/05/14
32
Lia
Тут еще неудобно то, что конкретно $\leq$ и $\geq$ это уже partial ordering ($a \leq b \wedge b \leq\ a \implies a = b$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:50 


20/03/14
12041
Вы выпишите определение минимального элемента толком, с нужным отношением, и будет понятно, о чем речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:54 


18/05/14
32
Lia в сообщении #1097146 писал(а):
Вы выпишите определение минимального элемента толком, с нужным отношением, и будет понятно, о чем речь.

В том и суть, что оно универсально, для любого отношения

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 20:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
EgZvor в сообщении #1097138 писал(а):
Мне кажется, должно быть для каждого отношения определение как максимального, так и минимального элемента. И в случае $\leq$ и $\geq$ они будут противоположными.
Ну да. Минимальный элемент — это максимальный элемент «обратного» отношения порядка, и наоборот. И так для любых частичных порядков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 21:04 


18/05/14
32
arseniiv
Спасибо, откуда тогда само название минимального элемента идёт?

-- 05.02.2016, 21:12 --

Видимо из этого. $aTb \wedge bTa$ элементы называют схожими, $aTb \wedge \neg bTa$ тогда элемент $a$ впереди элемента $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 21:31 


20/03/14
12041
EgZvor
Порядок он порядок. Рассмотрите самый простой случай. Положите две вещественных прямых, положите одну под другой. На одной введите естественное отношение порядка так, чтобы числа возрастали слева направо, как привычно. А на другой - в другом направлении. И возьмите два одинаковых отрезка на каждой прямой. Тогда самая правая точка отрезка будет максимальной для первой прямой, а для второй она же - минимальной. Все зависит, грубо говоря, от способа сортировки. Называться элемент во втором случае будет минимальным, потому что при таком способе сортировки (я очень вольно выбираю выражения, чтобы как-то объяснить) он действительно минимален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 21:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
EgZvor в сообщении #1097152 писал(а):
Спасибо, откуда тогда само название минимального элемента идёт?
Эм, не совсем ясен вопрос. Если мы понимаем $x\mathrel{T}y$ как «$x$ в каком-то смысле меньше/перед $y$», соответствующая формула с $T$ даст что-то более подобающее называться минимальным, а не максимальным элементом. А если мы взяли обратное отношение, то сами виноваты, что будет всё наоборот. Вообще, потому обычно все отношения порядка обозначают похоже на $<$, чтобы знать, с какой стороны что.

Видимо, я не понял вопроса всё-таки. Кстати, вас ещё ждёт веселье с отличиями смысла наименьшего и минимального элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение05.02.2016, 21:44 


20/03/14
12041
arseniiv в сообщении #1097169 писал(а):
Кстати, вас ещё ждёт веселье с отличиями смысла наименьшего и минимального элементов.

А вот это действительно весело. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение07.02.2016, 20:57 


18/05/14
32
arseniiv
Да вроде всё так и понял, а с наименьшим разница ведь только в том, что он единственен, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение07.02.2016, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Нет. Наименьший — который меньше всех остальных. Минимальный — меньше которого нет.
Если есть наименьший, то он является также и минимальным, и других минимальных элементов нет.
Если наименьшего нет, то минимальный элемент может не существовать, может быть единственный минимальный элемент, может быть много минимальных элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частично упорядоченные множества
Сообщение07.02.2016, 21:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
EgZvor, кстати, вам стоит построить примеры к каждому (хотя бы где-нибудь у себя). Очень просто, когда уже перечислены все возможности. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group