Последовательные натуральные числа на гранях куба

[Ktina]

Можно ли на гранях куба расставить числа

$$n+1,\quad n+2,\quad n+3,\quad n+4,\quad n+5,\quad n+6 $$

$(n\in\mathbb{N})\quad$ так, чтобы каждое число являлось делителем суммы четырех своих соседей?

[gris]

Прикинуть бы варианты вначале.
Возьмём наибольшее число. Оно может быть делителем только с кратностями $2$ или $3$. Попадание кратного большего числа между минимальной и максимальной суммами четырёх оставшихся даёт необходимость.
Для $k=2: n=0,1$
Для $k=3: n=4,5,6,7,8$
Дальше можно перебирать.
$7/2,3,4,5/6$ сразу отбрасывается. $6/1,2,4,5/3$ надо смотреть. Никак не получается.

Остаётся два варианта
$5/6,7,8,9/10$ и $9/ 7,8,10,11/12$
По делимости ничто не проходит, по моему.
Уж очень жёсткие условия. Наверное, без перебора есть очевидное соображение. Мне не было дано.

[stedent076]

Ktina
Будем рассуждать так:
0)$n+a$ кратно $4n+b$ когда $a$ кратно $b$, поэтому можно рассмотреть кубик, занумерованный числами $1,2,3,4,5,6$
1)Заметим, что шесть кратно $6, 12, 18$, из этих чисел четырьмя слагаемыми из набора {$1,2,3,4,5$} чисел может быть образовано только число 12$
Поставим на первую грань куба число $n+6$, на четыре соседних числа $n+1, n+4, n+2,n+5$. Тогда на противоположной грани окажется число $n+3$
2) Сумма $1+2+3+4=10$ и сумма $6+4+3+2=15$ кратна пяти. Причем ни одна другая сумма четырех слагаемых из набора ${1,2,3,4,6}$ не может давать кратное пяти число.
3)Сумма $6+5+3+2=16$ и сумма $1+2+3+6=12$ кратна четырем. Причем ни одна другая сумма четырех слагаемых из набора ${1,2,3,5,6}$ не может давать кратное четырем число.
4) Очевидно, что ответ на задачу отрицательный.

[NSKuber]

stedent076 в сообщении #1097121 писал(а):

0)$n+a$ кратно $4n+b$ когда $a$ кратно $b$,

Точно? Во-первых, мне кажется, вы перепутали направленность термина "кратно", а во-вторых, вот контрпримеры в обе стороны:
$n=1, b=10\,(1+2+3+4), a=6$ ($n+a$ делит $4n+b$, но $a$ не делит $b$)
$n=1, b=12\,(1+2+4+5), a=6$ ($n+a$ не делит $4n+b$, но $a$ делит $b$)

Идём от противного - пусть такая разметка существует.
Сначала заметим, что на противоположных гранях написаны числа разной чётности, так как у нас есть 3 чётных и 3 нечётных числа, и, если есть пара чисел одной чётности на противоположных гранях, то обязательно есть пара чётных чисел на противоположных гранях, но тогда сумма четырёх их соседей нечётна и не может на них делиться.

Также заметим, что хотя бы одно число делится на четыре. Его соседи складываются в $4n+k,12\leqslant k \leqslant 18$, которое должно делиться на 4, то есть $k$ должно делиться на четыре и, соответственно, быть равным 12 или 16. Имеем четыре варианта:
1) На противоположных гранях $n+4,n+5$, кто-то из этих двух делится на 4, остальные - их соседи.
2) На противоположных гранях $n+2,n+3$, кто-то из этих двух делится на 4, остальные - их соседи.
3) На противоположных гранях $n+3,n+6$, кто-то из этих двух делится на 4, остальные - их соседи.
4) На противоположных гранях $n+1,n+4$, кто-то из этих двух делится на 4, остальные - их соседи.

Случаи 1) и 2) легко отбрасываются с учётом того, что противоположные числа взаимно просты, а значит сумма четырёх соседей должна делиться на их произведение, которое либо всегда больше суммы, либо растёт намного быстрее, что позволяет перебрать $n$.

В случае 3) имеем сумму соседей $4n+12$, и оно делится на $n+6$, значит $n+6$ делит $3n + 6$ и $n=0,6$ (видимо, ноль тут следует включать в натуральные?). C учётом замечания про чётность-нечётность тут нетрудно перебрать все (две для каждого $n$ ) различные разметки и убедиться, что решений нет.

В случае 4) имеем сумму соседей $4n+16$, и она делится на $n+1$, значит $n+1$ делит 12 и $n=0,3,11$, тоже перебираем и убеждаемся, что решений нет.

Длинновато вышло

[Ktina]

gris
stedent076
NSKuber
Спасибо!