Литература по математике на разных языках

[math_question]

Мне интересно состояние русскоязычной литературы в современной России, а именно, на сколько её уровень (полнота охвата материала, качество изложения, отсутствие явных ошибок/опечаток) соответствует англоязычным изданиям. Например, - к вопросу о полноте охвата, - я сравнивал содержание трёхтомника по матану Кудрявцева с учебниками на английском, изданными Springer'ом, и у меня сложилось впечатление, что по количеству охватываемых тем трёхтомнок как минимум не уступает англоязычным аналогам.
Понятно, что в относительно новых областях с непосредственными приложениями, вроде информатики, ситуация с русскоязычной литературой, мягко говоря, оставляет желать лучшего, но меня интересуют именно классические разделы.

Может быть кто-то знает, как обстоят дела в области дифференциальных уравнений, абстрактной алгебры, дифференциальной геометрии? На сколько сильно изменилась математика в данных областях за последние 20-30 лет, и поспевает ли русскоязычная литература за прогрессом?

[tolstopuz]

По поводу учебников по алгебре могу точно сказать, что у нас все совсем плохо. Люди на полном серьезе советуют друг другу Ван дер Вардена, Куроша или первое издание Ленга, хорошо хоть не Бурбаков. Из реальных учебников я знаю только Кострикина и Винберга. После 2000 года выходила еще парочка учебников, но с изобилием англоязычных учебников по алгебре любого уровня не сравнить.

[Munin]

tolstopuz в сообщении #1097007 писал(а):

Из реальных учебников я знаю только Кострикина и Винберга.

Зорич уже не то?

[stedent076]

Munin
Зорич - математический анализ, а tolstopuz про алгебру говорил.
tolstopuz
Чем Курош плох?

[vicvolf]

А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. А разговор идет о современных учебниках за последние 20-30 лет.

[tolstopuz]

stedent076 в сообщении #1097093 писал(а):

Чем Курош плох?

Курош, можно сказать, по совсем другому предмету - алгебре 19-го века. Там группы, извините, в последней главе.

vicvolf в сообщении #1097098 писал(а):

А разговор идет о современных учебниках за последние 20-30 лет.

Можно и 50. У Ленга проблема не с несовременностью, а с уровнем изложения - самостоятельно по нему понять алгебру нереально, говорю на собственном опыте. В той культуре, откуда он пришел, его рекомендуют как второй-третий учебник для тех, кто на каком-то уровне алгебру уже знает. Примерно как Рудин для матана.

А первое издание Куроша - 1946 год, это совсем другая эпоха. В 1941, правда, был издан "A survey of modern algebra" Биркгофа-Маклейна, но тогда он смотрелся довольно авангардно :)

[Slav-27]

tolstopuz в сообщении #1097007 писал(а):

Люди на полном серьезе советуют друг другу Ван дер Вардена

А он чем плох?

И не посоветуете ли каких-нибудь учебников по-английски?

[tolstopuz]

Slav-27 в сообщении #1097108 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1097007 писал(а):

Люди на полном серьезе советуют друг другу Ван дер Вардена

А он чем плох?

Материал, который объясняется там на уровне старшекурсника (graduate), за прошедший почти век стал излагаться в более доступной форме, с кучей примеров и сотнями задач, в более современных учебниках для младших курсов (undergraduate). А в учебниках для старших курсов сейчас гораздо больше материала. То есть как первый учебник лучше взять что-нибудь полегче, а как второй (если понадобится) - что-нибудь посложнее.

И я ненавижу $\mathfrak{fraktur}$.

Slav-27 в сообщении #1097108 писал(а):

И не посоветуете ли каких-нибудь учебников по-английски?

Я учился по Dummit&Foote, Abstract Algebra. Еще очень известная книга - M.Artin, Algebra, недавно вышло второе издание. Из совсем простых есть Gallian, Contemporary Abstract Algebra.

Еще хвалят Rotman, у него есть книга попроще - A First Course in Abstract Algebra - и вторая, толстая - Advanced Modern Algebra. Хвалят вторую. Кстати, он пишет, что первым его учебником был Биркгоф-Маклейн, а вторым - Ван дер Варден.

Еще есть довольно свежая книга Aluffi, Algebra, Chapter 0, которую тоже хвалят.

Ну и классика - Herstein, у него тоже есть книга попроще - Abstract Algebra - и посложнее - Topics in Algebra.

[Munin]

(Оффтоп)

tolstopuz в сообщении #1097114 писал(а):

И я ненавижу $\mathfrak{fraktur}$.

Да ладно! Есть в нём какая-то гранитная красота... Абсолютно непрактичная, конечно же. Хотя 100 лет назад многие люди умели читать такое влёт. Это примерно такая же потеря для культуры, как и прекращение преподавания латыни и греческого...

Разумеется, сегодня за $\mathfrak{Gebrochene\ Schrift}$ надо вырывать ногти, но исторически он смотрится... Примерно как Нотр Дам с его горгульями.

И даже сегодня, ну если человек пишет $\mathfrak{so}(3),$ или $\mathfrak{c},$ что тут поделаешь?

[Yuri Gendelman]

tolstopuz в сообщении #1097106 писал(а):

Курош, можно сказать, по совсем другому предмету - алгебре 19-го века. Там группы, извините, в последней главе.

У Куроша есть гораздо более современный учебник - "Общая алгебра" (не путать с его же "Лекциями по общей алгебре").

[SomePupil]

А по дифурам что можете сказать?

[tolstopuz]

Yuri Gendelman в сообщении #1097198 писал(а):

У Куроша есть гораздо более современный учебник - "Общая алгебра" (не путать с его же "Лекциями по общей алгебре").

Это опять не тот предмет. Там какой-то паноптикум экзотических структур - полугруды, муфанговы лупы...

Цитата:

С другой стороны, между теорией универсальных алгебр и классическими разделами общей алгебры существует большое необработанное пространство. Исследования начались лишь в немногих местах, изолированные, иногда случайные, хотя среди этих мест есть такие, разработка которых безусловно необходима. Нужно ожидать, что именно в это «ничейное» пространство будут передвигаться в ближайшие десятилетия основные интересы общей алгебры.

Кажется, предсказание Куроша не очень-то подтвердилось.

-- Сб фев 06, 2016 14:41:55 --

math_question в сообщении #1096993 писал(а):

Например, - к вопросу о полноте охвата, - я сравнивал содержание трёхтомника по матану Кудрявцева с учебниками на английском, изданными Springer'ом, и у меня сложилось впечатление, что по количеству охватываемых тем трёхтомнок как минимум не уступает англоязычным аналогам.

Там весь материал вообще классический, и новые учебники отличаются от старых в основном с педагогической точки зрения (разве что уже полвека идет ползучее внедрение дифференциальных форм).

Еще надо учитывать, что "матан" на английском - это два отдельных предмета, calculus и mathematical analysis. У них сначала весь факультет учит один и тот же calculus (в крайнем случае полфакультета - простой, а полфакультета - with proofs), а потом уже где-то с третьего курса математикам дают Рудина и приучают к серьезным учебникам. У нас же под одной обложкой "матан" может быть как чистый calculus (типа для втузов), так и попытка за два года научить и брать интегралы, и доказывать теоремы, как у Зорича.

Кроме того, множества хороших учебников по анализу одной переменной и нескольких переменных практически не пересекаются (если только Зорич).

[SomePupil]

Со всем уважением, tolstopuz, я знаю Вас, как превосходный переводчик Рудина.

Чем calculus with proofs отличается от analysis?
Чем наши школьные учебники не calculus (начала анализа Колмогорова, Мордковича)?

Цитата:

У нас же под одной обложкой "матан" может быть как чистый calculus (типа для втузов), так и попытка за два года научить и брать интегралы, и доказывать теоремы, как у Зорича.

Под обложкой "матан" я еще не встречал calculus. Можете привести пример?
Студент за 4 семестра должен научиться и брать интегралы, и доказывать теоремы, разве нет?

[tolstopuz]

SomePupil в сообщении #1097597 писал(а):

Чем calculus with proofs отличается от analysis?

Совсем грубо говоря, в calculus with proofs не вводится даже понятие компактности. Calculus ставит целью производные и интегралы одной и нескольких переменных, а пределы, непрерывность и прочие скучные вещи сводятся к необходимому минимуму. Если это with proofs - все будет с доказательствами, например, как у Спивака. Если без proofs - может быть азбука с цветными картинками типа Stewart. И этот курс проходят все. А потом для избранных начинается analysis, где объясняют необходимые понятия из топологии метрических пространств и на них строят всю картину заново.

SomePupil в сообщении #1097597 писал(а):

Чем наши школьные учебники не calculus (начала анализа Колмогорова, Мордковича)?

Вполне себе основы calculus. В США есть аналогичный курс, правда, не для всех старшеклассников, а для одаренных - Calculus AB в рамках программы Advanced Placement.

SomePupil в сообщении #1097597 писал(а):

Под обложкой "матан" я еще не встречал calculus. Можете привести пример?

Любой учебник, план которого похож на Спивака или Апостола: чуть-чуть про действительные числа, пределы и непрерывность, потом большие главы про производные и интегралы одной переменной, далее по желанию автора. Ну разве что у Апостола интегралы раньше производных.

Итак, смотрим.

Никольский, Курс математического анализа (ФИЗМАТЛИТ, 2001). Вполне соответствует программе calculus. Слово "компакт" впервые встречается на странице 501 и означает "замкнутое ограниченное множество точек $x$ (действительных или комплексных)".
Кудрявцев, Краткий курс математического анализа (ФИЗМАТЛИТ, 2005). Глава 1 первого тома называется "дифференицальное исчисление функций одной переменной", глава 2 - "интегральное...", так что вполне соответствует программе calculus. Понятие "компакт" вводится во втором томе и только для R^n, то есть доказывается эквивалентность замкнутости и ограниченности. В полном (трехтомном) курсе компактность вводится в третьем томе для произвольных метрических пространств.
Ильин, Позняк, Основы математического анализа (ФИЗМАТЛИТ, 2005). Все то же самое. А понятие компактности опять определяется в начале второго тома как замкнутость и ограниченность в $R^1$, и еще ближе к концу второго тома в главе "Гильбертово пространство" отдельное(!) определение для $l^2$.

И так далее. Во всех этих курсах после одного-двух томов, посвященных calculus в чистом виде, ближе к концу вдруг начинаются какие-то отрывочные главы действительного и функционального анализа типа пространств $L^p$, линейных операторов, обобщенных функций, и базовые понятия пропущенного курса mathematical analysis приходится вводить на ходу отрывочно (определение компактности для $l^2$ - вообще курьез).

Зорич в этом смысле лучше всего. В первом томе - чистый calculus, разве что чуть-чуть авангардизма в пределах по базе. Второй том начинается с честного введения в метрические пространства, и дальше все изложение идет на уровне analysis.

Как пример книги именно по analysis можно взять Шилова.

SomePupil в сообщении #1097597 писал(а):

Студент за 4 семестра должен научиться и брать интегралы, и доказывать теоремы, разве нет?

Очень тонкий вопрос. Во-первых, студенты бывают разных специальностей, и доказывать теоремы нужно не всем. Во-вторых, курс, вводящий студента в мир доказательств, бывает и не матаном, а, скажем, общей топологией (да-да, по системе листочков преподает не только Вербицкий и не только в России), основами теории чисел или абстрактной алгеброй.

Я учился в МИФИ на факультете кибернетики с 1988 года. Учебника не помню, но отлично помню, что теоремы мы разбирали и заучивали к экзамену, но задачи были чисто вычислительными. И лектор по матану - Крючков В.С., ставя на экзамене даже пятерки, сокрушался, что наши знания матана ненастоящие, потому что мы даже не знаем, что такое компакт. И доказывать теоремы нас так и не научили.

Кстати, на Западе идет плавная деградация calculus, и если раньше после Спивака студент мог начинать Рудина, то после книжки с цветными картинками подняться до настоящей математики намного сложнее. Стали появляться книги по mathematical analysis более доступные, чем Рудин, например, Abbott, Understanting Analysis.

[SomePupil]

Ответ в стиле истинного ЗУ. Но ЗУ на то и ЗУ, чтобы отвечать в стиле истинного ЗУ.
Таких классификаций учебников матана я еще не встречал. Премного благодарен.