Square function, module and a parameter

[ins-]

Find all real values of the parameter $p$ such that the function $f(x)=x^2+2p|x-p|+|2p-1|x-p^2$ takes only non-negative values.

(Оффтоп)

http://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO386.pdf - it is a really problem from math olympiad, despite it looks so easy. The reason to post here was in the case $x>p$, $p>1/2$ D>0 and there are additional cases for the parabola, which makes easy to have wrong conclusions.

[whitefox]

Вы уверены, что эта задача не учебная?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Тема не соответствует разделу "Олимпиадные задачи".

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 04.02.2016, 18:07 --

ins-

ins- в сообщении #1096724 писал(а):

The reason to post here was in the case $x>p$, $p>1/2$

И что там замечательного в этом случае? Да, парабола. Считаем вершину. Убеждаемся, что она находится левее "самой левой" точки интервала, которым мы в данный момент занимаемся. То есть $x>p$. Делаем выводы о характере монотонности. Делаем выводы о минимальном значении функции на этом промежутке. Вспоминаем, какое $p$.

Вроде достаточно. Нет?

[ins-]

To prove it is not so obvious and it is easy to provide a wrong answer see this topic - https://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=49&t=18312 . It is in Bulgarian, but it is very close to Russian. I personally know one of the guys with opinions - he is a very experienced in math and made two or three times some mistakes. To solve this problem depends on your concentration. You should be very careful and to have some experience. What is strange with this problem is I saw 4 attempts to be solved - and all of them failed to find the correct answer, at least at the beginning.

[Lia]

ins-
Вы меня, возможно, не поняли. Я не претендую на решение, его в этом разделе и нельзя размещать, только указания и подсказки.
Но как раз в случае $x>p>1/2$ знак функции понятен.

А так много интересного можно сказать сразу. Ну например, что отрицательные $p$ не годятся. Нет?

[ins-]

I fully understand you. What you wrote is correct. The only thing I claim is - the problem looks easy, many people underestimate it and the result is a failure.