Икосаэдр и его углы

[sincoscircle]

Радиус описанной сферы икосаэдра $= 1$

$1 = \dfrac{a}{4} \sqrt{2(5+\sqrt{5})}$ , где $a$ ребро икосаэдра

$a = \dfrac{4}{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}$

тогда по теореме косинусов, угол $\theta$ треугольника, образованного центром описанной сферы и вершинами ребра, будет равен

$\theta = \arccos(\dfrac{2-a^2}{2}) = \arccos(\dfrac{2 - 1,1055}{2}) = 1,1072 = 63,44 $ градуса

1. Все ли верно?

2. Можно ли из этого сделать вывод, что в сферических координатах, 5 из 12 вершин икосаэдра имеют зенитный угол $= \theta$, другие 5 вершин имеют зенитный угол $= \pi - \theta$ ?

3. И верно ли равенство?

$\arccos(\dfrac{2-a^2}{2}) = 2\arcsin(\dfrac{a}{2})$

[Brukvalub]

sincoscircle в сообщении #1096660 писал(а):

... верно ли равенство?

$\arccos(\dfrac{2-a^2}{2}) = 2\arcsin(\dfrac{a}{2})$

Проверьте его при $a=-2$.

[sincoscircle]

Brukvalub

Я имел ввиду, применительно к данной задаче.

[Brukvalub]

sincoscircle в сообщении #1096667 писал(а):

Я имел ввиду, применительно к данной задаче.

Впервые слышу об ошибочной формуле, которая верна "применительно к данной задаче". Вы бы еще спросили, становится ли эта формула верной зимой.

[ИСН]

Сторона верная, угол тоже. Выражение для угла можно здорово упростить.

[DeBill]

sincoscircle

sincoscircle в сообщении #1096660 писал(а):

3. И верно ли равенство?

Вообще то это просто формула для косинуса двойного угла (выраженного через синус).
НО: всегда ли $\arccos(\cos(x)) =x$ ?
Тем не менее, насчет "применительно", Вы таки правы... Наполовину: если взять одну пятерку точек, то все корректно. А если другую - то нет. А правильный ответ получен за счет четного количества ошибок...

[sincoscircle]

ИСН в сообщении #1096679 писал(а):

Сторона верная, угол тоже. Выражение для угла можно здорово упростить.

А как его можно упроститить ? Подскажите.

-- 04.02.2016, 20:37 --

DeBill в сообщении #1096730 писал(а):

Вообще то это просто формула для косинуса двойного угла (выраженного через синус).
НО: всегда ли $\arccos(\cos(x)) =x$ ?
Тем не менее, насчет "применительно", Вы таки правы... Наполовину: если взять одну пятерку точек, то все корректно. А если другую - то нет. А правильный ответ получен за счет четного количества ошибок...

А если зенитный угол в сферической системе координат отсчитывать от "экватора" , а не от "полюса", т.е. он будет от -90 до 90 градусов, это решит проблему?

[ИСН]

sincoscircle в сообщении #1096817 писал(а):

А как его можно упроститить ? Подскажите.

Подставить в него фактическое выражение для $a$, дальше будет видно.