2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интегралы с гиперболическими функциями
Сообщение29.03.2008, 14:05 
Друзья! Очень нужно взять такой интеграл:
\[
\int_{ - \infty }^\infty  {\frac{{\sin \left( {4{\text{arctg }}e^x  - ax - \varphi} \right)}}
{{\cosh x}}} dx
\]
У меня он сводится к двум другим:
\[
\int_{ - \infty }^\infty  {\frac{{\sinh x\sin ax}}
{{\cosh ^3 x}}} dx
\] и \[
\int_{ - \infty }^\infty  {\frac{{\sinh ^2 x\cos ax}}
{{\cosh ^3 x}}} dx
\]
С последними трудности. В книжке Заславского сотов. "Слабый хаос и квазирегулярные структуры" дается решение, но оно у меня вызывает сомнения, т.к. не сходится с численным. Вчера смотрел Градштейна с Рыжиком, у них тоже ничего похожего не нашел.

 
 
 
 Re: Интеграл с гиперболическими функциями
Сообщение29.03.2008, 19:43 
Аватара пользователя
$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty}\frac{\sh^2x\cos ax}{\ch^3x}dx=\frac{\pi(1-a^2)}{2\ch\frac{\pi a}2}$$

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 20:06 
Спасибо! Но как? Или ссылочку? А другой берется?

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 20:34 
Аватара пользователя
Прошу прощения, вместо "с последними" прочёл "с последним" и решил, что другой интеграл Вы вычислили. Я не знаю, как его вычислять "руками", такой результат даёт Mathematica 5.1.
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sh x\sin ax}{\ch^3x}dx=\frac{\pi a^2}{2\sh\frac{\pi a}2}$$
В предыдущем моём сообщении была опечатка, я её исправил.

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 20:47 
Спасибо еще раз! Но раз это все так просто и автоматизировано, мог бы я еще раз воспользоваться Вашей любезностью для отыскания интеграла
\[
\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\cos ax}}
{{{\text{ch}}^3 x}}} dx
\] ?

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 20:56 
Аватара пользователя
$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty}\frac{\cos ax}{\ch^3x}dx=\frac{\pi(1+a^2)}{2\ch\frac{\pi a}2}$$

Установите себе какую-нибудь систему компьютерной математики. Mathematica, Maple, ещё что-нибудь...

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 21:06 
Хвала Вам и Mathematic'e! Я пользовал Mathcad 2001, но такие интегралы он аналитически не считает. В матлабе 7.0 и мэпле 12 тоже пробовал как-то несобственные брать, после чего первый умирал, а второй выдавал исходное условие. А вот Математику еще ни разу не эксплуатировал... Уже скачиваю :)
Но алгоритм вычисления все-таки интересен...
P.S. Формула Заславского все же оказалась правильной, а вот Mathcad 2001 врет в численном интегрировании подобного рода для аргументов порядка единиц и больше в гармонической функции :evil:

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 21:33 
Аватара пользователя
Интегралы с буквенными параметрами и Mathematica иногда плохо считает. А некоторые лучше считает Maple. В общем, у всех таких систем есть свои ограничения, достоинства и недостатки.
В данном случае я писал команду в таком виде:

Код:
Integrate[Sinh[x]^2 Cos[a x]/Cosh[x]^3,{x,-∞,+∞},Assumptions→a∈Reals]


Результат:

Код:
-1/2(-1+a^2)Sech[a π/2]

 
 
 
 
Сообщение30.03.2008, 01:06 
По второму интегралу Градштейн Рыжик 3.985,1,2

Добавлено спустя 53 минуты 1 секунду:

Уверен насчет второго интеграла? У меня получился с подынтегральной функцией
\[
\left( {1 - \frac{2}
{{\cosh ^2 x}}} \right)\cos ax
\]
А первый возьми по частям, получишь интегралы типа \[
{\frac{{\cos ax}}
{{\cosh ^{2n} x}}}
\]

 
 
 
 
Сообщение30.03.2008, 03:39 
У меня все-таки получается функция с кубом гипербол. косинуса в знаменателе. Т.е.
\[
\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{1 - {\text{sh}}^2 x}}
{{{\text{ch}}^3 x}}} \cos ax dx = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{2 - {\text{ch}}^2 x}}
{{{\text{ch}}^3 x}}} \cos ax dx
\]
А за приведение по частям к табличному спасибо, я тогда уж отчаялся с ними бороться. В этом случае второй (в той форме, как у меня получился) тоже к нему приводится.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2008, 16:38 
\[
\begin{gathered}
  \sin \left( {4\arctan e^x  - ax - \varphi } \right) = \sin ... + \cos \left( {4\xi } \right)\left( {\cos ax\cos \varphi  - \sin ax\sin \varphi } \right) \hfill \\
  \xi  = \arctan e^x  \hfill \\
  \cos \left( {4\xi } \right) = 8\cos ^4 \xi  - 8\cos ^2 \xi  + 1 =  \hfill \\
   = 8\frac{{e^{4x} }}
{{\left( {1 + e^{2x} } \right)^2 }} - 8\frac{{e^{2x} }}
{{\left( {1 + e^{2x} } \right)}} + 1 =  \hfill \\
   = \frac{{8e^{4x}  - 8e^{2x}  - 8e^{4x} }}
{{\left( {1 + e^{2x} } \right)^2 }} + 1 = 1 - \frac{{8e^{2x} }}
{{\left( {1 + e^{2x} } \right)^2 }} = ... \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Проверь, если что не так.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2008, 22:10 
Всем откликнувшимся большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group