Квадрат из четырёх единиц

[Ktina]

Доказать, что число, состоящее из четырёх единиц и некоторого количества нулей, не является точным квадратом.

[Dmitriy40]

А нули могут быть только справа (или только слева)? Т.е. число вида $1111 \cdot 10^n$? Тогда несложно: такое число представимо или в виде $1111 \cdot 10^{2n}$, или в виде $11110 \cdot 10^{2n}$, при извлечении корня получим или $10^n \sqrt{1111}$ или $10^n \sqrt{11110}$, ни тот ни другой корень не является рациональным числом. Вот и всё.
Если же нули могут быть и между единиц, т.е. число вида $10^a+10^b+10^c+10^d, a,b,c,d\in \mathbb{Z}, a>b>c>d\geqslant 0$, то всё сложнее и сходу не придумывается. Хотя перебор подтверждает отсутствие решений по крайней мере для $a<100$.

[alcoholist]

Dmitriy40
единицы же не обязательно подряд идут

[DeBill]

Пусть $10001000.....1 =n^2$
Посмотрим, какая последняя цифра у числа $n$. Ясно, что это $\pm 1$...
А какая - предпоследняя?
Если это не 0 и не 5, то предпоследняя цифра у $n^2$ четна, и не равна 0.
Если 5, то $n=100a +50 \pm 1$, так что $n^2= 10000a^2 \pm +2500 +1 +1000a \pm100$, и цифра из разряда сотен четна...
Если 0, то $n=...ab00..000\pm 1$, где $b$ не равно 0. Возводя в квадрат, видим, что $b=5$. Но (выполняя умножение столбиком) тогда $a=0$, и в следующем разряде появляется 2.

Блин, корявое какое то решение...

[NSKuber]

DeBill в сообщении #1096578 писал(а):

Если это не 0 и не 5, то предпоследняя цифра у $n^2$ четна, и не равна 0.

$(99)^2=9801$

[mihailm]

Тут типа предпоследняя ноль (а последняя минус один)

[gris]

Число сравнимо с $4$ по модулю $9$, то есть натуральный корень сравним с $2$ или $7$. Может быть тут поискать? А последние цифры, по-моему, бесполезно ковырять. Там что угодно может быть.

[DeBill]

mihailm в сообщении #1096659 писал(а):

Тут типа предпоследняя ноль (а последняя минус один)

Ага