Извлечение арифметического квадратного корня

[Rusit8800]

Почему при извлечении арифметического корня получается положительное число?Например $(-7)^2=7^2$, но $\sqrt{49}=7$ ?
Ведь нельзя же например в квадратном уравнении "выкинуть" одно решение.Зачем же здесь "выкидывать" одно из решений? Разве это никак не сказывается на ответе?

[Mihr]

Rusit8800 в сообщении #1096237 писал(а):

Почему при извлечении арифметического корня получается положительное число?

По определению арифметического квадратного корня.

[svv]

Иногда из $49$ требуется получить только $7$, а в других ситуациях множество $\{7, -7\}$. Решили: пусть лучше первичным строительным блоком будет функция (однозначная): $\sqrt{49}=7$, а если нужны оба знака, напишем $\pm\sqrt{49}$. А считать, что $\sqrt{49}=\{7, -7\}$ — это будет неудобно в тех областях, где всё построено на функциях (которые надёжно превращают число в число). Хоть новый символ придумывай, выбирающий из множества нужный элемент.

[gomomorfizm]

Rusit8800
Пусть нам дано отображение $f(x):\mathbf{X}\to\mathbf{Y}. f(x)=x^2. x\in\mathbf{X};f(x)\in\mathbf{Y}$. В нем каждому элементу $x$ соответствует строго один элемент $f(x)$. Мы с вами хотим построить обратное отображение $ \mathbf{Y}\to\mathbf{X}$. Как легко убедиться, в нем уже элемент $f(x)$ будет отображаться в два элемента $\sqrt{f(x)}$ и $-\sqrt{f(x)}$. Так вот. Все хорошие свойства и теоремы, составляющие предмет матанализа не будут работать, если мы имеем дело с последним типом отображений, а на практике это не очень удобно. Поэтому договорились ставить в соответствие извлечению корню из числа $a$ единственное положительное число $b$.
Скажем, пусть скорость точки зависит от времени следующим образом:
$V(t)=\sqrt{t}$. Найти путь, за время $t_1$
Если $\sqrt{t}$ определен однозначно, то мы можем взять определенный интеграл и легко посчитать путь.

[Mihr]

svv в сообщении #1096246 писал(а):

Хоть новый символ придумывай, выбирающий из множества нужный элемент.

А комбинация из символа квадратного корня и знака - и есть тот самый символ. Так зачем изобретать новый?
Вот, допустим, нам нужно однозначно описать корень уравнения $x^2=49$. Мы можем сказать "меньший корень уравнения $x^2=49$" либо "больший корень уравнения $x^2=49$". Но столь же просто различать эти корни, сравнивая их не между собой, а с нулём, то есть указывая их знаки. Тогда мы должны говорить "отрицательный корень уравнения $x^2=49$" либо "положительный корень уравнения $x^2=49$". Если же теперь заменить слова символами, мы и получаем:
$-\sqrt{49}$ - отрицательный корень уравнения $x^2=49$ (минус заменил слово "отрицательный", 49 под знаком радикала - сокращение для корень уравнения $x^2=49$)
$\sqrt{49}$ - положительный корень уравнения $x^2=49$ (перед положительным числом знак "плюс" обычно не пишется).

Может быть, ТС так будет понятнее. Всё же, если говорить строго, $\sqrt{49}=7$ по определению арифметического квадратного корня.

[Dmitriy40]

Rusit8800
Есть просто квадратный корень, а есть арифметический квадратный корень. Первый выдаёт два значения (точнее раскрывается в модуль, который и выдаёт потом два возможных значения), второй только одно неотрицательное.

[Lia]

Protopopulus
Предупреждение за безграмотность и флуд в учебном разделе.

Флуд удален.

[NSKuber]

gomomorfizm в сообщении #1096254 писал(а):

Как легко убедиться, в нем уже элемент $f(x)$ будет отображаться в два элемента $\sqrt{f(x)}$ и $-\sqrt{f(x)}$. Так вот. Все хорошие свойства и теоремы, составляющие предмет матанализа не будут работать, если мы имеем дело с последним типом отображений, а на практике это не очень удобно.

Отображениями называют подмножества $X\times Y$ такие, что для всякого $x$ существует единственный $y$, что пара $(x,y)$ лежит в отображении. Если это не выполняется, лучше вообще слова "отображение", "функция" не применять.

[gomomorfizm]

NSKuber
Вы привели определение биективного отображения.

[Lia]

gomomorfizm в сообщении #1096386 писал(а):

Вы привели определение биективного отображения.

Нет, приведено в точности то, что анонсировано.

[gomomorfizm]

Lia
Хорошо, я посыпаю себе голову пеплом и беру свои слова назад)

[Rusit8800]

Dmitriy40 в сообщении #1096256 писал(а):

Rusit8800
Есть просто квадратный корень, а есть арифметический квадратный корень. Первый выдаёт два значения (точнее раскрывается в модуль, который и выдаёт потом два возможных значения), второй только одно неотрицательное.

Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.
Кстати если в функции $y=\sqrt{x}$ знак $\sqrt{}$ будет обозначать просто квадратный корень, то функция "раздвоится", то есть будет и отрицательный $y$(если сравнивать с такой же функцией с арифметическим квадратным корнем)?

[Lia]

Rusit8800 в сообщении #1096522 писал(а):

Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.

Восьмикласснику не надо. Если встретите знак $\sqrt{\phantom d}$ - имеется в виду корень именно арифметический. Если, конечно, Вы не собрались читать литературу для физматспециальностей третьего курса сию минуту.

[Rusit8800]

Lia в сообщении #1096525 писал(а):

Rusit8800 в сообщении #1096522 писал(а):

Каким знаком отображается просто квадратный корень? Надо же их как-то отличать.

Восьмикласснику не надо. Если встретите знак $\sqrt{\phantom d}$ - имеется в виду корень именно арифметический. Если, конечно, Вы не собрались читать литературу для физматспециальностей третьего курса сию минуту.

Да просто интересно

[arseniiv]

(gomomorfizm)

Если имелись в виду $X, Y$, то лучше так и писать, а форматирование используется обычно для придания особого смысла. И вообще, это

gomomorfizm в сообщении #1096254 писал(а):

$f(x):\mathbf{X}\to\mathbf{Y}. f(x)=x^2. x\in\mathbf{X};f(x)\in\mathbf{Y}$

кошмар. Вы ведь написали уже, на чём и во что функция определена — зачем дальше повторяться? Плюс, осмысленнее запись $f\colon X\to Y$, а не $f(x)\colon X\to Y$. Догадайтесь почему.