Алгебраическая структура для MTF преобразования

[seryrzu]

Фиксируем $S \in \mathbb N$.
Обозначим $\mathfrak S_S$ множество всех перестановок порядка $S$.
Рассмотрим отображение $f : \mathfrak S_S \times \{1,2,\ldots,S\} \to \mathfrak S_S$,
имеющее следующее определение:

\begin{gather} f( \alpha, x )[ i ] \overset{\mathrm {def}}{=} \begin{cases} x &\mbox{при} \ i = 1, \\ \alpha_i &\mbox{при} \ i > i_0, \\ \alpha_{i - 1} &\mbox{при} \ 1 < i \leqslant i_0, \end{cases} \end{gather}

где $\alpha \in \mathfrak S_S$, $x \in \{1,2,\ldots,S\}$ и $i_0 : \alpha[i_0] = x$

Смысл этого отображения очень простой. Будем считать, что у нас есть $S$ книг, с названиями $1:S$, а также стопка $\alpha$ этих книг. Мы вытаскиваем из стопки книгу $x$ и кладем ее наверх стопки.
Именно это формализовано в определении $f$, данном выше.

Вопрос: можно ли ввести такую алгебраическую структуру, чтобы $i$ выступало в роли скаляра? (То есть $f(\alpha, i)$ --- <<домножение на скаляр>>)

Прямое рассмотрение группы перестановок и введение на ней операции домножения на скаляр не удается, так как $f$ оказывается не дистрибутивной по первому аргументу.

UPD: да и вообще хоть какую-нибудь разумную структуру...

[seryrzu]

Небольшая путаница в обозначениях.
Имеется в виду:
$\alpha = (\alpha_1, \ldots \alpha_S)$ и $\alpha_i = \alpha[i]$ для всех $i$.

[svv]

Ну, Вы же понимаете, что каждое «i» — это на самом деле определённая перестановка $P_i$, а Ваше отображение — это просто композиция исходной перестановки и $P_i$. Просто Вы выделили в группе перестановок $S$ элементов, которые для Вас чем-то важны, но операция здесь всё равно такая... не надо насилия.

[seryrzu]

svv в сообщении #1095674 писал(а):

Ну, Вы же понимаете, что каждое «i» — это на самом деле определённая перестановка $P_i$, а Ваше отображение — это просто композиция исходной перестановки и $P_i$. Просто Вы выделили в группе перестановок $S$ элементов, которые для Вас чем-то важны, но операция здесь всё равно такая... не надо насилия.

Спасибо. Вы правы.
Понять бы еще, как исследовать свойства такого отображения $f$. Это уже не в рамках этого вопроса.