Принцип модуля. Помогите доказать.

[Pulseofmalstrem]

Читая учебник по ТФКП, я наткнулся на упоминание про принцип модуля. Автор учебника его не доказал, но упомянул что это возможно, вот я и решил восполнить пробел.

0) Пусть нам дана область $D$ с контуром $l$, в которой определена аналитическая функция $f(x)$, которая к тому же непрерывна на контуре $l$. Пусть $M$ - максимум модуля функции $f(x)$ на контуре $l$, тогда верно что для всякого $z$ из области D, $\left\lvert f(z) \right\rvert \leqslant M$, причем равенство достигается лишь в том случае, когда $f(x)$ есть постоянная функция ($z$ лежит внутри $D$).

0) Само неравенство было доказано в учебнике, и это не представляет особого интереса, но не был доказан пассаж про то что равенство достигаеться лишь для константной функции.

1) Пусть это не так, тогда существует некоторая точка $a$, в которой достигаеться максимум модуля функции.
$\left\lvert f(a)\right\rvert = M, a \in D$


Введем новую функцию $\varphi (x) = f(x) - f(a)$, которая тоже, очевидно, аналитична всюду в $D$ и непрерывна на контуре. И применим формулу Коши для точки $a$, тогда мы имеем:
$0 = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{l}^{}\frac{\varphi(t)}{t - a}dt$

$0 = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{l}^{}\frac{f(t) - f(a)}{t - a}dt$
$\int \limits_{l}^{}\frac{f(t)}{t - a}dt = \int \limits_{l}^{}\frac{ f(a)}{t - a}dt$
Значит равны и модули этих интегралов, далее вынося постоянную $f(a)$ за знак интеграла и навешивая на нее модуль получаем:

$\left\lvert\int \limits_{l}^{}\frac{f(t)}{t - a}dt\right\rvert = \left\lvert f(a) \right\rvert \left\lvert\int \limits_{l}^{}\frac{1}{t - a}dt \right\rvert$, тогда вспоминая что всюду на $l$ $\left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant \left\lvert f(a) \right\rvert$ мы заключаем, что $f(x) = f(a)$ на $l$, тогда по формуле Коши для любой точки в $D$:

$f(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{l}^{}\frac{f(a)}{t - x}dt = \frac{f(a)}{2 \pi i} \int\limits_{l}{} \frac{dt}{t - x} = f(a)$

В доказательстве очень не уверен в переходе к тому,что $f(x) = f(a)$ на контуре и прошу помощи с аккуратным доказательством этого факта,возможно стоит применить теорему о среднем или воспользоваться оценкой модуля интеграла...

[Otta]

$f(z)=z$
$D=\{|z|\le 1\}$

[Pulseofmalstrem]

Otta
А да неплохой контрпример для перехода к постоянству функции, однако это не опровергает самого утверждения, поскольку максимум модуля как раз приходиться на границе области. Надо искать другой подход к доказательству. Запрашивую подсказку стоит использовать формулу Коши или есть другой способ?

[Otta]

Pulseofmalstrem
Нет, это не к тому пример был. Несколько кривая формулировка,

Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):

причем равенство достигается лишь в том случае

здесь надо было что-то вроде "причем равенство достигается по крайней мере в одной внутренней точке"... а еще лучше все сначала переписать.

По доказательству.

Не надо там никаких Коши. Из этой теоремы (для непостоянных функций) сразу следует отсутствие внутренних локальных экстремумов модуля (покажите), а потом с помощью теоремы Шварца - требуемое.

[DeBill]

Э, да ничё, нормально: Pulseofmalstrem как раз и смотрит случай, когда максимум - во внутренней точке.
Товарщ сам сочинил - ну, кустарное доказательство - и хочет убедиться в его корректности. А оно - не очень...

Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):

заключаем, что $f(x) = f(a)$ на $l$,

Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):

очень не уверен в переходе к тому,что $f(x) = f(a)$ на контуре

И правильно не уверены. А вот если бы вы интегрировали по окружности, то сделать вывод отсюда, что, по крайней мере, $|f(x)| = |f(a)|$ на окружности, можно (а почему?). Ну, а потом - точки с максимумом модуля размножились, и ?
Так что чуток удобнее, действительно,

Pulseofmalstrem в сообщении #1096234 писал(а):

озможно стоит применить теорему о среднем

Otta
Про лемму Шварца: ее, по моему, как раз из макс-модуля выводят, нет?

[Otta]

DeBill в сообщении #1096296 писал(а):

Про лемму Шварца: ее, по моему, как раз из макс-модуля выводят, нет?

А это где как.

[ewert]

Там, насколько помню, совсем уж так дёшево не делается. Да, постоянство модуля в некоторой окрестности, допустим, очевидно. Но чтоб перейти от него к постоянству самой функции -- придётся задействовать какой-нибудь логарифм (или типа того). И потом -- непременно приплесть какого-нибудь Гейне-Бореля; вот уж его точно обойти не выйдет.

[Otta]

Ну нет, после того как основная часть - к которой у ТС нет вопросов - доказана, там особо делать нечего. По сути, надо показать отсутствие внутренних экстремумов.

А что-то да, Шварц тут и не нужен, Шварц он наоборот.

[ewert]

Ну что значит нет. От окрестностей ко всей области переходить в любом случае придётся, и это совсем не безобидно. Да, стандартно, но -- не безобидно (тем более в рамках ТФКП, где это, вообще-то -- редкость).

[DeBill]

ewert в сообщении #1096312 писал(а):

от окрестностей ко всей области переходить в любом случае придётся,

Это - да. Можно , например, так. Область - связна. Множество точек, где модуль максимален - открыто (по доказанному), и замкнуто (по непрерывности). Да еще и непусто...
Ну, и доказав постоянство модуля, бабахнуть условия Коши-Римана...

[ewert]

DeBill в сообщении #1096325 писал(а):

Множество точек, где модуль максимален - открыто (по доказанному),

А вот не вижу доказанного.

DeBill в сообщении #1096325 писал(а):

, и замкнуто (по непрерывности).

А это уж тупо неверно. Просто потому, что изначальная область ни разу не обязана быть замкнутой.

DeBill в сообщении #1096325 писал(а):

бабахнуть условия Коши-Римана...

Которые тут уж и вовсе если в Киеве -- то.

[DeBill]

ewert

ewert в сообщении #1096329 писал(а):

А вот не вижу доказанного.

Виноват, я поверил ВАМ

ewert в сообщении #1096303 писал(а):

постоянство модуля в некоторой окрестности, допустим, очевидно

Хотя, может, и не зря поверил: ведь в основном все было сделано, а детали мы оставили Pulseofmalstrem

ewert в сообщении #1096329 писал(а):

DeBill в сообщении #1096325

писал(а):
, и замкнуто (по непрерывности).
А это уж тупо неверно. Просто потому, что изначальная область ни разу не обязана быть замкнутой.

Замкнуто - в относительной топологии, естесно. Вообще то я использовал совершенно стандартное рассуждение. Например, именно так доказывают теорему единственности.

ewert в сообщении #1096329 писал(а):

DeBill в сообщении #1096325

писал(а):
бабахнуть условия Коши-Римана...
Которые тут уж и вовсе если в Киеве -- то.

$f=u+iv, u^2+v^2=\operatorname{const}$ $\Rightarrow u \cdot u_x+v \cdot v_x=0, u \cdot u_y+v \cdot v_y=0 $ Пусть $\operatorname{const}$ не равна 0. Добавим условия Коши-Римана. Получим (невырожденную) однородную систему на частные производные. Значит, все они равны нулю $ \Rightarrow f=\operatorname{const}$

-- 03.02.2016, 03:47 --

ЗЫ И неплохо бы извиниться за наезд не по делу...

[ewert]

DeBill в сообщении #1096335 писал(а):

ewert

ewert в сообщении #1096329 писал(а):

А вот не вижу доказанного.

Виноват, я поверил ВАМ

ewert в сообщении #1096303 писал(а):

постоянство модуля в некоторой окрестности, допустим, очевидно

А напрасно поверили, надо было и всего-то навсего подумать. Из "некоторой" ни разу не следует "любой". Очевидно.

[DeBill]

ewert

ewert в сообщении #1096629 писал(а):

надо было и всего-то навсего подумать.
Из "некоторой" ни разу не следует "любой".

Или почитать:

DeBill в сообщении #1096325 писал(а):

ewert в сообщении #1096312 писал(а):

от окрестностей ко всей области переходить в любом случае придётся,

Это - да. Можно , например, так. ...

-- 04.02.2016, 13:39 --

ewert
Мне кажется, фигней какой то мы занимаемся. Надо это прекращать - к полному неудовлетворению сторон.