2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 12:04 


04/05/13
125
Даны две выпуклые фукнции ${f}_{1}$ и ${f}_{2}$. Доказать, что $F(x) = \max ({f}_{1}, {f}_{2})$ тоже является выпуклой функцией.

Геометрически это понятно. Но надо доказать алгебраически. Преподаватель сказал, что через неравенство это легко доказывается, но не уточнил какое неравенство. Через $f(\lambda {x}_{1} + (1 - \lambda) {x}_{2}) \leq \lambda f({x}_{1}) - (1 - \lambda) f({x}_{2})$ не получается доказать. Подскажите, каким неравенством можно воспользоваться? Или есть какой нибудь другой способ это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А чем вам это неравенство не подходит? Кстати,почему в правой части у вас "минус"? И какое значения принимает $\lambda$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 14:18 


04/05/13
125
ой, там плюс должен быть: $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$, $\lambda \in (0, 1)$. Я не могу представить себе как использовать это неравенство, если функцией является максимум из двух функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 14:24 


16/02/10
258
Дополнительно используйте очевидное свойство:
$\max \left(f_1, f_2\right)\leqslant \max \left(g_1, g_2\right), если $f_1\leqslant g_1$ и $f_2\leqslant g_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 14:29 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Про ТеХ)

\leqslant.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 19:03 


04/05/13
125
Геометрически это означает что график секущей находится выше чем график функции. Но мне надо алгебраически доказать, никак не могу догнать как использовать неравенство, когда функцией является максимум их двух функций :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 19:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Но вы же писали, что геометрически с максимумом всё ясно? Вот теперь постройте секущую и разберите, если нужно, какой из двух функций принадлежит каждый из двух кусков графика, которые пересекает секущая. После этого всё можно «конвертировать» в следствия из этого неравенства (только в уме покрутил без проверки на бумаге, но не видно, что может пойти не так).

(Для будущих посетителей темы: перед этим был мой пост, который я удалил как ответ на предыдущий удалённый. :mrgreen:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 19:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
inky в сообщении #1096109 писал(а):
$f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$, $\lambda \in (0, 1)$

Так ведь тогда тем более $f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \leqslant \lambda \max\{f(x_1),g(x_1)\} + (1-\lambda) \max\{f(x_2),g(x_2)\}$. А функции, между прочим, равноправны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклая функция
Сообщение02.02.2016, 19:36 


04/05/13
125
Понял. Всем спасибо за подсказки :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group