Функция Ляпунова

[sergeant_007]

Доброй ночи, помогите пожалуйста, необходимо доказать устойчивость системы в нулевом положении равновесия с помощью метода ф-ций Ляпунова системы

$x' = y$

$y' = -6\sin(x) -5y$

Пробовал сумму квадратов $V = y^2 + \cos(x)^2$, $V = y^2 + \tg(x)^2$, а также $V = (y^2 + \sin(x))^2$, $V = (y^2 + \sin(x))^4 + 2\cos(x)^2$, всё безрезультатно, "всплывает" cos в первой степени, поэтому о отрицательный определенности выражения ничего не скажешь.

Всю голову "сломал", очень срочно надо

[DeBill]

sergeant_007

Ну, так не бывает, чтобы сразу и срочно, и сломал...
А для какой хочь точки то? Для (0,0)? И что Вы пробовали?
Ну хотя бы стандартную, типа "сумма квадратов"(с коэффициентами) "?
Или традиционную "сумма квадратов правой части" ?
Или похитрее , типа $6 \cos(x_1) + k\cdot (x_2)^2+\operatorname{const} $ ?
Сразу скажу, что одна из них не подходит совсем, а две других - чуть-чуть.
Но из этих двух - уже можно соорудить совсем хорошую!
Вперёд!

[sergeant_007]

Да, для (0,0), пробовал сумму квадратов и похитрее, пока безрезультатно (

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

sergeant_007

Да чем Вам плох $\cos(x)$ ? Функция $1- \cos(x)$ вполне хороша: неотрицательна,
и в нуле равна 0.
Но - "традиционный" Вы так и не попробовали? И "похитрее" - тоже? (Я извиняюсь: у меня там опечатка в знаке, сейчас поправлю). Попробуйте - и напишите, что получается.
Или Вы не поняли, о чем там речь ("правая часть" - правая часть Вашей системы. $k=\frac{1}{2}$)

-- 02.02.2016, 17:37 --

Э, нет, не правится..
Здесь

DeBill в сообщении #1096013 писал(а):

типа $6 \cos(x_1) + k\cdot (x_2)^2+\operatorname{const} $ ?

надо $6-6\cos(x) +\frac{1}{2}y^2$

Пардон

[sergeant_007]

Хорошо, спасибо. С ней получается, но тогда необходимо найти множество пространства состояний, в котором система будет устойчива.

[DeBill]

sergeant_007

Э-э, не так быстро: с ней - не получается: производная неположительна, а Вам нужна отрицательность. Так что - надо комбинировать с другой подсказкой (или передоказывать теорему Ляпунова).

Дык, какие проблемы? Вы нашли ВСЕ особые точки (то бишь, положения равновесия)? Если Вы думаете, что $\sin(x)$ равен нулю только в нуле - то Вы не правы, есть еще куча других решений. И вот половина этих точек - неустойчива, а половина - да. Но для них функцию Ляпунова придется переделать....

[sergeant_007]

Именно, что я не думаю, что $\sin(x)$ равен нулю только в нуле. Поэтому и рассматривал только положительно определенные ф-ции Ляпунова, с этим и возникла проблема.

[DeBill]

1. Функция Ляпунова - локальная вещь, все, что от нее требуется, должно выполняться только вблизи рассматриваемой точки.
Поэтому, то, что где-то там в тумане, синус занулился, волновать Вас не должно - когда работа идет с данной точкой.
Похоже, Вы не заметили, что производная нашей функции равна 0 на прямой $y=0$. И в упор не воспринимаете другую подсказку - про функцию $y^2 + (6\sin(x)+5y)^2$...
2. А замечание про синус - это о том, что надо исследовать и другие особые точки, например,
$x=2016\cdot\pi, y=0$. Это было в ответ на

sergeant_007 в сообщении #1096162 писал(а):

необходимо найти множество пространства состояний, в котором система будет устойчива.

[sergeant_007]

Так при ф-ции $y^2 + (6\sin(x)+5y)^2$ производная будет содержать отдельные слагаемые sin(x) и cos(x), следовательно, не будет отрицательно определенной.

[DeBill]

sergeant_007
Вах! И правда... Что-то я вчера неаккуратно посчитал.
Ну да ладно, одна функция - корявая - есть, и хорошо. Этого (неположительность производной ) , на самом деле, хватает для устойчивости (надо только убедиться, что множество нулей производной не состоит из решений).
А вообще, на будущее, задачи такого сорта можно делать так. Оставим у векторного поля только линейные члены. Подберем (для линеаризованной системы) квадратичную функцию Ляпунова (возьмем неопределенные коэффициенты, и т.д.). Эта же функция сгодится и для исходной системы: младшие члены её производной образуют отрицательно определенную квадратичную форму (потому что Вы ее так и строили), так что "достаточное " условие локального минимума выполнится. Надо только не пугаться большой формулы, а смело ссылаться на эту теорему (о лок. мин.).

[sergeant_007]

А как же тогда найти множество пространства состояний, в котором система будет устойчива ? Я не совсем понял.

[Otta]

sergeant_007
Непонятно, какую задачу Вы решаете. В исходной задаче требуется доказать устойчивость нулевого положения равновесия, и только. Откуда взялись дополнительные вопросы?

[sergeant_007]

Это второй подпункт. Извиняюсь, что сразу не написал.