Доказать равенство на основе свойств биномиальных коэфф-в.

[hochu_no_ne_mogu]

Здравствуйте. Никак не могу решить задание из задачника Гаврилова и Сапоженко "Задачи и упражнения по дискретной математике".

Задание N1.18(8).

Пусть $n$ и $m$ — целые положительные числа.
С использованием тождества $(1+t)^n=\sum^n_{k=0}\Bigl( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)t^k} \ \eqno (1)$ или иным способом доказать равенство $\sum^n_{k=1}{\frac{(-1)^{(k-1)}} k \Bigl( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)}=1+\frac{1} 2+\dots+\frac{1} n\ \eqno (2)$.

В указаниях к решению написано, что нужно провести индукцию по $n$ c использованием N1.13(2): $\Bigl( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)\Bigl( \begin{array}{cc} k \\ r \end{array} \Bigr)=\Bigl( \begin{array}{cc} n-r \\ k-r \end{array} \Bigr)\Bigl( \begin{array}{cc} n \\ r \end{array} \Bigr)\ \eqno (3)$
и N1.18(7): $\sum^n_{k=0}{(-1)^k\frac{1} {k+1}\Bigl( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)}=\frac{1} {n+1}\ \eqno (4)$.

Моя попытка решения.

Пусть $n=1$. Тогда $\frac{(-1)^{(1-1)}} 1\Bigl(\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array}\Bigr)=1$, т.е. верно.

Предположим, что если $(2)$ выполняется для $n$, то оно выполняется и для $n+1$, т.е. $\sum^{n+1}_{k=1}{\frac{(-1)^{(k-1)}} k \Bigl( \begin{array}{cc} n+1 \\ k \end{array} \Bigr)}=1+\frac{1} 2+\dots+\frac{1} {n+1}$.
Проверим:
$1+\dots+\frac {1} {n+1}=\sum^n_{k=1}{\frac{(-1)^{(k-1)}} k \Bigl( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)}+\sum^n_{k=0}{(-1)^k\frac{1} {k+1}\Bigl( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)}=1+\sum^n_{k=1}{(-1)^{(k-1)}\Bigl( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)}\frac{k+1-k}{k(k+1)}=1+\sum^n_{k=1}{\frac{(-1)^{(k-1)}} k\Bigl(\begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \Bigr)}\frac{1}{k+1}$

После этого застрял.

[svv]

Обозначим $S_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac {(-1)^{k-1}} k {n\choose k}$, тогда, пользуясь ${n+1\choose k}={n\choose k-1}+{n\choose k}$, получим
$S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac {(-1)^{k-1}} k {n\choose k-1}+\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac {(-1)^{k-1}} k {n\choose k}$
В первой сумме сдвинем индекс $k$ на единицу: $\sum\limits_{k=0}^n \frac {(-1)^k} {k+1} {n\choose k}$, что по формуле (4) равно $\frac 1{n+1}$.
Во второй сумме верхний предел можно исправить на $n$ (почему?), т.е. она равна $S_n$.

Рекомендуемые авторами формулы (1) и (3) не нужны совершенно.

[hochu_no_ne_mogu]

В последнем слагаемом второй суммы число сочетаний равно нулю.

svv, спасибо за помощь! Всегда так: когда смотришь чьё-то решение, кажется: до чего просто, но сам додуматься не можешь