Кривизна поверхности как дивергенция нормали

[Straw_hat]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, найти источники (желательно учебники/статьи на русском языке), в которых бы
обсуждалось определение средней кривизны поверхности как дивергенции ее нормали.
Сам ничего найти не смог.

Заранее большое спасибо!

[alcoholist]

Как определена дивергенция, если поле нормалей определено только на самой поверхности?

[Straw_hat]

alcoholist в сообщении #1095921 писал(а):

Как определена дивергенция, если поле нормалей определено только на самой поверхности?

Вот и это меня смутило. Однако пишут https://en.wikipedia.org/wiki/Young%E2% ... e_equation

[Otta]

(Оффтоп)

Это не дивергенция нормали. Это дифференциальный оператор.
Если $n=(n_x,n,y,n_z)$ - нормаль в точке поверхности, то $n\cdot\nabla=n_x\frac\partial{\partial x}+n_y\frac\partial{\partial y}+n_z\frac\partial{\partial z}$. И т.д.

upd Что-то подумалось, что я не ту строчку расшифровываю.

[alcoholist]

Straw_hat в сообщении #1095951 писал(а):

Однако пишут

так это в лоб, или через формулу Родрига

[Vince Diesel]

Можно так. Пусть поверхность задана неявно уравнением $g(x)=0$, где $g$ — гладкая функция с неравным нулю градиентом на поверхности. Тогда $\bar n=\frac{\nabla g}{|\nabla g|}$ и $\mathop{\mathrm{div}} \bar n=\mathop{\mathrm{div}}\frac{\nabla g}{|\nabla g|}=(n-1)H$.

[alcoholist]

Vince Diesel
здесь, как я понимаю используется семейство поверхностей $g(x)=c$, поэтому вектор нормали определен в окрестности любой точки $x_0\in M=\{x\,:\,g(x)=0\}$

[Vince Diesel]

Да тут семейство и не нужно, главное, что функция $g$ определена в окрестности поверхности и можно брать производные по некасательным направлениям.

Upd. Хотя да, так определенная нормаль $n$ будет ортогональна семейству поверхностей.

[svv]

Удивительно, что от выбора семейства результат не зависит, только от самой поверхности. Т.е. если уравнения $f(x)=0$ и $g(x)=0$ задают одну и ту же поверхность $M$, то
$\operatorname{div}\frac{\nabla f}{|\nabla f|}=\operatorname{div}\frac{\nabla g}{|\nabla g|}$ на $M$.