О целочисленном кубоиде. Попытка №2.

[Andrey Bogatyryov]

Хочу поделиться с Вами моими наработками относительно одной открытой математической проблемы. Они, правда, в достаточно наивной форме, что свойственно подобным мне школьникам-ферматистам))
Хочется услышать вашу критику и, возможно, узнать, в чем я опять не прав.
...
Тезис звучит так:«Не существует параллелепипеда с рациональными (и целочисленными) ребрами, диагоналями граней и внутренней диагональю.»
(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D0%B4)

Мое доказательство:
(разделил на несколько частей для удобства)

Часть I
Допустим, что такой параллелепипед (или целочисленный кубоид) существует, x,y,z – его ребра, a,b,c – диагонали граней и d – внутренняя диагональ, причем x,y,z,a,b,c,d – взаимно простые натуральные числа(1). Т.е. нас интересует именно "примитивная семерка" целочисленного кубоида.
Получаем систему уравнений (2):

$$x^2+y^2=\ a^2$$

$$y^2+z^2=\ b^2$$

$$x^2+z^2=\ c^2$$

$$x^2+y^2+z^2=\ d^2$$

Ребра х,y,z не могут быть одновременно нечетными, так как хотя бы один из катетов пифагорова треугольника должен быть четным. По той же причине два из чисел х,y,z не могут быть нечетными, иначе одна из диагоналей не будет рациональной, что противоречит условию (1).
Если все числа х,y,z будут четными, то четными окажутся и все остальные числа a,b,c,d, что противоречит условию (1), т.к. числа не взаимно простые в данном случае.
Поэтому будем считать, что только два числа из х,y,z должны быть четными в нашем случае. Тогда из чисел a,b,c только один должен быть четным, а пространственная диагональ - всегда нечетная.(3).

Часть II
Исходя из формул (2), получаем:

$$a^2 + b^2 + c^2 = (x^2 + y^2) + (y^2 + z^2) + (z^2 + x^2) = 2 d^2$$

$$a^2 + b^2 - c^2 = (x^2 + y^2) + (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = 2 y^2$$

$$a^2 - b^2 + c^2 = (x^2 + y^2) - (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) = 2 x^2$$

$$b^2 + c^2 - a^2 = (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) - (x^2+y^2) = 2 z^2$$

Т.к. $2 y^2 > 0$, то $a^2 + b^2 - c^2 > 0$ или $a^2 + b^2 > c^2$
Следовательно, из отрезков, равным $a^2, b^2, c^2,$ можно составить целочисленный треугольник. По формуле Герона площадь этого тр-ка равна:

$$4S=\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2 ) (a^2 + b^2 - c^2 ) (a^2 - b^2 + c^2 ) (b^2 + c^2 - a^2)}$$

$$S=\frac 1 4 \sqrt{16 k^2 x^2 y^2 z^2} = dxyz$$

Так как площадь целочисленного тр-ка – целое число, то это – геронов треугольник.

Часть III
Любой (по крайней мере, так утверждает википедия) геронов треугольник имеет стороны, равные:

$$ a_0 = \frac{p}{q} (m + n) (mn - k^2)$$

$$b_0 = \frac{p}{q} m (n^2 + k^2)$$

$$c_0 = \frac{p}{q} n (m^2 + k^2)$$

А также полупериметр: $p_0 = \frac{p}{q} mn (m + n)$
Площадь: $S_0 = \frac{p}{q}mnk (m + n)(mn - k^2)$
Где $a_0,b_0,c_0 $ - стороны геронова тр-ка, m,n,k – целые взаимно простые числа, такие, что $m \geqslant n \geqslant 1$, $mn > k^2 > \frac{nm^2}{2m+n} $.

Для нашего тр-ка будут выполняться следующие условия (4):

$$a^2 = \frac{p}{q} (m + n) (mn - k^2 )$$

$$b^2= \frac{p}{q}m (n^2 + k^2 )$$

$$c^2= \frac{p}{q}n (m^2 + k^2 )$$

$$p= \frac{a^2+b^2+c^2}{2} = d^2 = \frac{p}{q} mn(m + n)$$

$$x^2 = d^2 - b^2 = \frac{p}{q} m (mn - k^2)$$

$$y^2 = d^2 - c^2 = \frac{p}{q} n(mn - k^2)$$

$$z^2 = d^2 - a^2 = \frac{p}{q} k^2 (m + n)$$

Так как наша "семерка" - примитивная, то p=1. $q=gsd(a^2,b^2,c^2)$, а так как в квадратах натуральных чисел каждый множитель встречается четное число раз, то наибольший общий делитель - также квадрат. Причем, так как среди чисел $a^2,b^2,c^2$ только одно четное (3), то q - нечетное число (5).
Пусть $q=t^2$, тогда получаем систему:

$$(at)^2 = (m + n) (mn - k^2 )$$

$$(bt)^2 = m (n^2 + k^2 )$$

$$(ct)^2 = n (m^2 + k^2 )$$

$$(dt)^2 = mn(m + n)$$

$$(xt)^2 = m (mn - k^2)$$

$$(yt)^2 = n(mn - k^2)$$

$$(zt)^2 = k^2 (m + n)$$

Часть IV
Рассмотрим уравнение:

$$(dt)^2 = mn(m + n)$$

$d$ и $t$ - по условию нечетны (3,5), следовательно, их произведение $(dt)$ - также нечетно.
Но если $m$ и $n$ - будут нечетными, то $(m + n)$ - четное, следовательно, и $dt$ -четное, что противоречит условию. Аналогично, если какое-либо из чисел $m$ и $n$ будет четным.
...

Получается, что полупериметр данного в начале геронового тр-ка не соответствует параметризации для всех ГТ, следовательно, невозможно из квадратов диагоналей ЦК "постоить" ГТ, следовательно, в параллелепипеде хотя бы один из параметров x,y,z,a,b,c,d - всегда иррациональный.

[Sender]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1095844 писал(а):

$q=gsd(a^2,b^2,c^2)$

Поясните, пожалуйста.

[ovsov]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1095844 писал(а):

причем x,y,z,a,b,c,d – взаимно простые натуральные числа(1).

Вот и мой вопрос: Причем?

[grizzly]

Согласен с Sender насчёт локализации проблемы.

Andrey Bogatyryov в сообщении #1095844 писал(а):

$q=gsd(a^2,b^2,c^2)$

Накладочка -- Вы используете обозначения из Википедии поверх своих, в то время как у Вас и в Вики одними и теми же буквами обозначены разные вещи.

[Sender]

А, так это тоже формула из википедии. Andrey Bogatyryov, в википедии $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника до умножения на коэффициент пропорциональности, т.е. в ваших обозначениях

$$q=\gcd \big[ (m + n) (mn - k^2 ),m (n^2 + k^2),n (m^2 + k^2 )\big].$$

[Andrey Bogatyryov]

Прошу прощения, $q=gcd(a^2,b^2,c^2)$, или просто НОД.
Если $q=gcd[(m+n)(mn-k^2),m(n^2+k^2),n(m^2+k^2)]$, то это, конечно, не дает нам всегда нечетное q...

-- 02.02.2016, 11:21 --

Хорошо, а если забудем про эти коварные p и q?! Без них все равно должен получиться нужный нам геронов тр-к, хотя и не примитивный. Значит, и ЦК в таком случае должен будет существовать, правда, он не примитивный получится.
Поищем среди множителей из последних формул (без p и q) квадраты:

$$m+n = (\frac{z}{k})^2$$

$$mn-k^2 = \frac{a^2}{m+n} = (\frac{ak}{z})^2$$

$$m = \frac{y}{mn-k^2} = (\frac{yz}{ak})^2$$

$$n = \frac{x}{mn-k^2} = (\frac{xz}{ak})^2$$

$$m^2+k^2 = \frac{b}{n} = (\frac{abk}{xz})^2$$

$$n^2+k^2 = \frac{c}{m} = (\frac{ack}{yz})^2$$

Значит, исходя из этих формул, $m,n,m+n,mn-k^2,m^2+k^2,n^2+k^2$ - полные квадраты.

Можем получить следующую систему:

$$(\bar{m})^2+(\bar{n})^2 = p^2$$

$$(\bar{m})^2 (\bar{n})^2 -k^2 = r^2$$

$$(\bar{m})^4 +k^2 = s^2$$

$$(\bar{n})^4 +k^2 = t^2$$

Где $ \bar{m}=\frac{yz}{ak}, \bar{n}=\frac{xz}{ak}, p=\frac{z}{k}, r=\frac{ak}{z}, $
$ s=\frac{abk}{xz}, t=\frac{ack}{yz} $

Не знаю, но может решения этой систему хоть как-то помогут в данной задачке?!

[Коровьев]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1096038 писал(а):

Не знаю, но может решения этой систему хоть как-то помогут в данной задачке?!

Не помогут. Единственное, что вы показали, так это известное утверждение - если целочисленный кубоид существует, то существует треугольник Герона со сторонами-квадратам. Обратное не верно
Треугольник Герона со сторонами-квадратами сообщение от arqady
$a_0 = 1853^2 ,b_0 = 4380^2 ,c_0 = 4427^2 ,S = 32918611718880$