Интегралы

[Кудряшов Андрей]

Подскажите пожалуйста, что можно сделать с интегралами. Уже который день сижу и ничего не получается.
$$\int \frac{(x^3+3)}{(x^2+1)(x+1)}dx;
$$\int \frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}dx

[Capella]

Второй интеграл можно решить с помощью подстановки $ x^2 = y $ и дальше проинтегрировать по частям, где сначала Вам нужно будет "убрать" у.
Сейчас даже подумала, что ещё лучше вот так:
$ \int {\frac {x^2 - 25 + 25} {\sqrt{25 - x^2}} dx $. Теперь образуем сумму интегралов, которую Вы легко можете решить сами: $ \int {\frac {x^2 - 25} {\sqrt {25 - x^2}} dx $ (здесь поменяете знак в числителе и сократите) и второй сумманд $ \int {\frac {25} {\sqrt {25 - x^2}} dx $. 25 Можно Вынести за скобку, тогда у Вас получится табличный интеграл, не помню точно сейчас, чему он должне быть равен, но точно либо $ cos $, либо $ sin $
Равен $ arcsin $, подставите $ 25 = 5^2 $

[Someone]

Кудряшов Андрей писал(а):

Подскажите пожалуйста, что можно сделать с интегралами. Уже который день сижу и ничего не получается.
$$\int \frac{(x^3+3)}{(x^2+1)(x+1)}dx;
$$\int \frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}dx

Первый: выделяем целую часть $\frac{(x^3+3)}{(x^2+1)(x+1)}=1+\frac{-x^2-x+2}{(x^2)+1)(x+1)}$, затем разлагаем на простейшие дроби $\frac{-x^2-x+2}{(x^2)+1)(x+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}$.

Второй: подставляем $x=5\sin t$.

[Кудряшов Андрей]

а коэффициенты A, B, C как найти

[Someone]

Кудряшов Андрей писал(а):

а коэффициенты A, B, C как найти

Умножаете обе части равенства на общий знаменатель $(x^2+1)(x+1)$ и сравниваете коэффициенты многочленов слева и справа. Они, естественно, должны быть равными. Получаете систему линейных уравнений, из которой находите коэффициенты.
Другой способ: после умножения на знаменатель подставляете вместо $x$ различные числа (в первую очередь рекомендуется подставлять корни знаменателя, если таковые есть).
А лучше всего комбинировать оба способа.

[Кудряшов Андрей]

Спасибо огромное за советы