2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображение со свойством поднятия путей - накрытие
Сообщение29.01.2016, 14:29 


29/08/13
266
Добрый день. Помогите пожалуйста разобраться с доказательством следующего утверждения:

Пусть $p: E \to B$ - непрерывное отображение линейно связных локально односвязных топологических пространств, причём для всякой $b \in B$ прообраз $p^{-1}(b)$ - дискретен, кроме того $p$ обладает свойством поднятия путей (т.е. для всякого пути $\gamma: [0; 1] \to B$ и всякой точки $x \in p^{-1}(\gamma(0))$ существует единственный путь $\Gamma: [0; 1] \to E$ такой что $\Gamma(0) = x, \ p \circ \Gamma = \gamma$), тогда $p$ - накрытие.

Доказательство, найденное мной, выглядит так:

Фиксируем произвольную точку $b \in B$, слоем назовём $F = p^{-1}(b)$. Рассмотрим произвольное односвязное открытое множество $U \subset B$. В нём зафиксируем точку $a$ и путь $\gamma$ с началом в $a$ и концом в $b$. Далее для каждой точки $c \in B$ зафиксируем внутри $U$ путь $\delta_c$, с началом в $c$ и концом в $a$. Определим тривиализацию как $\lambda: y \mapsto $ конец поднятия пути $\delta_{p(y)} \cdot \gamma $.

Далее надо показать, что $p|_{p^{-1}(U)} \times \lambda$ - гомеоморфизм. Его биективность понятна, но далее в доказательстве не показывают непрерывности ни его, ни обратного (оставляют в качестве упражнения). Мне не понятно даже почему $\lambda$ - непрерывно. Как при этом использовать односвязность $U$? Ясно, что она гарантирует, что внутри $U$ всякий путь, соединяющий точки из $U$, будет единственен с точностью до гомотопии с фиксированными концами, но что это даёт? У нас есть поднятие путей, но ничего не говорилось про поднятие гомотопий. По идее (если $p$ - накрытие), у всех гомотопных путей в $U$ с началом в одной точке и концом в $a$ должны быть одинаковые концы поднятий, но как это показать?

Выходит, что если утверждение верно, то мы можем получить полную информацию о том, как устроена топология на $E$, но как именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение со свойством поднятия путей - накрытие
Сообщение29.01.2016, 14:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2514
СПб
Поднимите гомотопию вручную: один раз в жизни такие вычисления надо проделать
я к тому, что там явные почти формулы, из них следует непрерывность

-- Пт янв 29, 2016 15:06:23 --

и лично мне очень помогали рисунки)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение со свойством поднятия путей - накрытие
Сообщение30.01.2016, 11:06 


29/08/13
266
Вручную - это в каком-то конкретном примере или в духе "каждая точка исходного пути при гомотопии сама проделывает путь"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение со свойством поднятия путей - накрытие
Сообщение31.01.2016, 15:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2514
СПб
VanD в сообщении #1095027 писал(а):
Фиксируем произвольную точку $b \in B$, слоем назовём $F = p^{-1}(b)$. Рассмотрим произвольное односвязное открытое множество $U \subset B$. В нём зафиксируем точку $a$ и путь $\gamma$ с началом в $a$ и концом в $b$. Далее для каждой точки $c \in B$ зафиксируем внутри $U$ путь $\delta_c$, с началом в $c$ и концом в $a$. Определим тривиализацию как $\lambda: y \mapsto $ конец поднятия пути $\delta_{p(y)} \cdot \gamma $.

1) слой лучше назвать $F_b$
2) $U$ -- односвязная окрестность точки $b$, а не произвольное односвязное открытое множество
3) $c\in U$
4) Отображение $\lambda:p^{-1}(U)\to p^{-1}(U)$
5) конец поднятия с началом в какой точке?
6) и зачем вообще точка $a$?

Что там за гомеоморфизм? Между чем и чем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение со свойством поднятия путей - накрытие
Сообщение31.01.2016, 18:08 


29/08/13
266
2) Вы предлагаете какой-то другой путь доказательства? В исходном (описанном выше) неполном доказательстве $U$ не была окрестностью $b$. Нам же надо для некоторого открытого покрытия $B$ понастроить тривиализаций $\lambda$, $U$ было просто односвязным открытым подмножеством $B$. Как я понимаю, $b$ здесь играет роль отмеченной точки, в прообраз которой будут отображать все тривиализации.
3) это вроде понятно, весь же путь (точнее, образ пути) $\delta_c$ внутри $U$
4) Отображение $\lambda: p^{-1}(U) \to F_b$, технически можно написать и $\lambda : p^{-1}(U) \to p^{-1}(U)$, но я пока не понимаю, что это даст.
5) $\lambda : y \mapsto $ конец поднятия пути $\delta_{p(y)} \cdot \gamma$, где начало этого поднятия и есть $y$.
6) Как я понимаю, она для того, чтобы все пути, соединяющие точки из $U$ с $b$ доходили до $b$ через фиксированный $\gamma$, начало которого $a$ и лежит в $U$, чтобы все тривиализации отображали в прообраз $b$ и были непрерывными, но я не вижу, почему это так.

alcoholist в сообщении #1095537 писал(а):
Что там за гомеоморфизм? Между чем и чем?

Надо показать, что существует открытое покрытие $B$, такое что для каждого его элемента $U$ существует отображение (тривиализация) $\lambda: p^{-1}(U) \to F$ (где $F$ одинаковое для всех тривиализаций дискретное пространство), такое что $p|_{p^{-1}(U)} \times \lambda : p^{-1}(U) \to U \times F$ - гомеоморфизм.

Вы предлагаете сначала показать, что прообразы всех точек $B$ попарно гомеоморфны и так немного разгрузить доказательство, взяв $U$ односвязной окрестностью $b$ и убрав $a$? Это понятно как сделать, но мне всё равно пока не ясно, как показать, что у гомотопных путей с общими началом и концом после поднятий с общим началом останется и общий конец.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group