Matlab - экспонента в степени матрицы

[maximus005]

Всем привет. Есть матрица n на n и необходимо число "e" возвести в степень каждого элемента матрицы-в результате получаю матрицу n на n, пишу: exp(i*R), R-матрица. Всё работает. Потом пишу exp(i*R*k), где k-константа,ее вычисляю определенным способом, она равна 1.2643*10^7 и в этом случае результат неверный. Проверяю просто: беру и возвожу число "e" в степень которая равна определенному элементу матрицы и сравниваю результат с соответствующим эл-ом матрицы exp(i*R*k). результаты расходятся. Подскажите пожалуйста в чем косяк.

[arseniiv]

В определении экспоненты от матрицы. Она не состоит из экспонент каждого элемента.

-- Вс янв 31, 2016 11:08:17 --

Например, $\exp\begin{bmatrix} 0 & -a \\ a & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & e^{-a} \\ e^a & 1 \end{bmatrix}$.

[GAA]

arseniiv, вычисление матричной экспоненты выполняется при помощи функций expm, expm1, expm2, expm3 (см. описание на русском или англ.: expm, expm1,…).

maximus005, приведите, пожалуйста, Вашу матрицу R и версию MatLab.

[arseniiv]

GAA
А, ясно. Подозревал, что есть и покомпонентная (в Mathematica тоже так).

[maximus005]

GAA в сообщении #1095476 писал(а):

maximus005, приведите, пожалуйста, Вашу матрицу R и версию MatLab.

У меня MATLAB R2013b 8.2.0.701.
Написал полный код,а то мало ли:

Используется синтаксис Matlab M

  
x=1:1:2;
y=1:1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
lym=500*10^-9;
w=2*pi*299792458/lym;
e0=8.854*10^-12;
m0=1.256*10^-6;
k=sqrt((w^2)*e0*m0);
R = sqrt(X.^2+Y.^2); 

k=1.2563e+07
Для простоты матрицы 2 на 2.
Т.о. R = [1.4142 2.2361 ; 2.2361 2.8284]

В результате:

k =

1.2563e+07

>> exp(i*R*k)
ans =

0.8214 + 0.5703i 0.3076 - 0.9515i
0.3076 - 0.9515i 0.3495 + 0.9369i

>> exp(i*1.2563e+07*2.8284)

ans =

-0.2790 - 0.9603i

[GAA]

...
>> exp(i*R*k)
ans =
   0.8214 + 0.5703i   0.3076 - 0.9515i
   0.3076 - 0.9515i   0.3495 + 0.9369i
>> exp(i*k*R(2,2))
ans =
   0.3495 + 0.9369i 

Вы ввели не все значимые числа цифры R(2,2) и k, поэтому и ответы различаются.
Если хотите увидеть больше значащих цифр, то воспользуйтесь командой format long

...
format long
>> k=sqrt((w^2)*e0*m0)
k = 1.256305165569142e+007
>> R = sqrt(X.^2+Y.^2)
R = 
   1.41421356237310   2.23606797749979
   2.23606797749979   2.82842712474619
>> exp(i*R*k)
ans =
  0.82143878531730 + 0.57029669644531i  0.30763122090920 - 0.95150566573296i
  0.30763122090920 - 0.95150566573296i  0.34952335604714 + 0.93692765119701i
>> exp(i*1.256305165569142e+007*2.82842712474619)
ans =
  0.34952335604714 + 0.93692765119701i

Во втором варианте кода я ввел k и R(2,2) вручную. Результаты и в этом случае совпадают.

[maximus005]

Спасибо большое за помощь! Помогло

[Geen]

(Оффтоп)

По моему, вычислять синус/косинус десяти миллионов несколько странное занятие - потеря точности великовата.

[maximus005]

Geen в сообщении #1095557 писал(а):

(Оффтоп)

По моему, вычислять синус/косинус десяти миллионов несколько странное занятие - потеря точности великовата.

Подскажите, в следствии чего потеря точности ? Потеря точности именно при больших значениях аргумента ? Насчет вычислений: такова функция грина для электрического диполя - требует вычисление комплексной экспоненты вот с такими большими значениями аргумента.

[GAA]

За счет ограниченной точности при приведении аргумента к промежутку, на котором выполняется вычисление (Argument reduction). На шаге масштабирования результата для приведенного аргумента малые погрешности значительно увеличиваются. См. методы вычисления триг. функций, напрмер в книге Ильин, Позняк "Основы математического анализа", Т1.
Но и исходные константы заданы с малой точностью. Если же надо любой ценой выполнить вычисления с большой точностью, то можно воспользоваться символьными вычислениями.

>> x=1:2; y=1:2;
>> [X,Y] = meshgrid(x,y);
>> lym = sym('500*10^(-9)');
>> e0 = sym('8.854*10^(-12)');
>> w = 2*sym('Pi')*299792458/lym;
>> m0= sym('1.256*10^(-6)');
>> k=sqrt(w^2*e0*m0)
>> Z = sym(X.^2+Y.^2);
>> R = sqrt(Z);
>> vpa(exp(i*R*k))
ans =
[ .82143878128081838467134437365322+.57029670225934483808416349034038*i, .30763122899377922032278553979388-.95150566311913087383309065611916*i]
[ .30763122899377922032278553979388-.95150566311913087383309065611916*i, .34952334278423236850499169896615+.93692765614477193673272261370513*i]

Для значения Digits по умолчанию (32). Можно значение Digits увеличить.

-- Вс 31.01.2016 17:12:57 --

Забыл символьно вычислить R. Поэтому результат неверен. Сейчас переделаю.

Upd. Пересчитал. Исправил.

[Geen]

maximus005 в сообщении #1095572 писал(а):

требует вычисление комплексной экспоненты вот с такими большими значениями аргумента.

Может быть, если переработать алгоритм, то не требует?...

Вот у Вас отдельные константы заданы с относительной точностью порядка $10^{-4}$ - чему равен косинус, если его аргумент определён с такой точностью?

P.S. и возводить в квадрат чтобы тут же извлечь корень.... плохо выглядит...

[GAA]

GAA в сообщении #1095577 писал(а):

На шаге масштабирования результата для приведенного аргумента малые погрешности значительно увеличиваются.

Это я скопипастил текст для экспоненты. Для триг. функций просто ограниченность точности исходного аргумента приводит к его большой относительной погрешности после приведения к диапазону $(0, 2\pi)$. Тут как бы очевидно.

[Munin]

maximus005 в сообщении #1095572 писал(а):

Насчет вычислений: такова функция грина для электрического диполя - требует вычисление комплексной экспоненты вот с такими большими значениями аргумента.

Приведите аргумент к промежутку $[0,2\pi),$ а то ваши вычисления не будут иметь ни малейшего смысла.

Какова у вас задача вообще?