Описание колебаний в учебнике Ландсберга

[Rasmussen]

Всем привет!
Решил на досуге полистать учебник и наткнулся на такое описание колебаний:



Все замечательно, но я никак не взять в толк - почему из соответствия треугольников OBC и DBE следует, что BE:BD = CB:OB?
Это же не соответственные стороны этих треугольников. Из каких соображений может быть получено такое соотношение?

Спасибо за внимание.

[Pphantom]

Rasmussen в сообщении #1095337 писал(а):

Все замечательно, но я никак не взять в толк - почему из соответствия треугольников OBC и DBE следует, что BE:BD = CB:OB?
Это же не соответственные стороны этих треугольников. Из каких соображений может быть получено такое соотношение?

Менее формальное обоснование такое: если угол отклонения от вертикали невелик, то его синус и его тангенс примерно равны друг другу.

Если детальнее... Поскольку приближение малых колебаний фактически состоит в рассмотрении только линейного члена в разложении возвращающей силы в ряд Тейлора, то и для синуса/тангенса нужны только линейные члены разложения, а они у них совпадают. Следовательно, с интересующей нас точностью эти отношения равны.

[Rasmussen]

Ааа, ларчик-то просто открывался!
Благодарю за разъяснение!

[gris]

Рисунок немного не соответствует написанному. Написано, что при малых углах точки $C,B,E$ лежат на одной прямой. То есть угол $EBD$ — прямой. Но это приближённо и только для того, чтобы найти значение $P_1$. А нарисовано так, как оно есть без приближения, то есть угол $BED$ — прямой. Тогда обе части пропорции выражают синус маленького угла в каждом треугольнике.

[Someone]

Rasmussen в сообщении #1095337 писал(а):

почему из соответствия треугольников OBC и DBE следует, что BE:BD = CB:OB?

Из таинственного "соответствия", может быть, и не следует. А из подобия, о котором написано в учебнике, следует.

[Munin]

gris в сообщении #1095346 писал(а):

А нарисовано так, как оно есть без приближения, то есть угол $BED$ — прямой.

Нет. Нарисовано, действительно, будто $\angle BED$ - прямой, но это неверно вообще.

Обратите внимание, что движение происходит не качаниями в вертикальной плоскости (в плоскости рисунка), а по окружности, расположенной горизонтально, "выступающей" из рисунка. При этом, возвращающая сила $\boldsymbol{P}_1$ направлена строго горизонтально, по радиусу окружности, всегда и безо всяких приближений (в противоположность тому, как написано в учебнике). И получается, что прямым будет именно $\angle EBD.$

[gris]

То есть шарик двигается равномерно по окружности. Есть центростремительная сила. Можно тогда нарисовать силу натяжения нити и спроецировать всё это дело на горизонтальную и вертикальную ось. Получится система уравнений, которую можно решать в зависимости от того, что дано, а что нужно найти.
А на рисунке надо было бы добавить точку $E_1$, там где сейчас $E$, для того, чтобы получить нужное подобие? Тогда всё было корректно.

[svv]

Посмотрел Ландсберга (начало тома 3). Там он раскладывает силу тяжести, действующую на грузик, на две составляющие: $\mathbf P_2$, направленную по нити, и $\mathbf P_1$, перпендикулярную нити. Эту $\mathbf P_1$ он и называет «возвращающей», используя одно и то же определение как для случая, когда маятник качается, так и для вращения. Вращение же он рассматривает, чтобы легче найти период колебаний в обоих случаях.

[Munin]

Да, тогда мой комментарий неверен.