Rectangle, diagonal and a common divisor

[ins-]

Let natural numbers m and n are side lengths of a rectangle divided to mn squares with side 1 with lines, parallel to its sides. Prove that the diagonal of the rectangle passes through internal points of m+n−d squares, when d is the biggest common divisor of m and n.

[NSKuber]

Будем двигаться по диагонали из одного угла. Каждый раз, пересекая вертикальную или горизонтальную линию, мы заходим в новый квадрат. Линий на пути (не считая начального и конечного углов) мы должны пересечь пересечём $(m+n-2)$, плюс один квадрат, из которого мы начали, минус $(d-1)$ узловых точек, которые мы посчитали два раза, итого $m+n-d$.

[ins-]

Thank you! What you wrote looks like a simple counting but I wasn't capable to do it after some thinking. It is not a problem, created by me. The source is Bulgarian MO - Regional round 1976-th. I have two questions:
1. Why does узловых точек's count is d-1?
2. Why diagonal passes through them?
Probably these statements have some formal proof.

[NSKuber]

Конечно, сейчас сообразим.
Так как диагональ является диагональю прямоугольника $m\times n$, то она является также диагональю прямоугольника $sm\times sn$, где $s\in \mathbb{R}$. Наименьший прямоугольник с целыми сторонами такого вида имеет размер $\frac{m}{d}\times \frac{n}{d}$, где $d$ - как раз наибольший общий делитель. То есть, если мы идём по диагонали их точки $(0,0)$, то в точке $(\frac{m}{d},\frac{n}{d})$ мы пересечём сетку, потом в точке $(\frac{2m}{d},\frac{2n}{d})$ и так далее. Без учёта первой (потому что первый квадрат мы отдельно посчитали) и последней (потому что после пересечения противоположного угла прямоугольника мы уже ничего не считали) их, соответственно $d-1$.

[ins-]

Written by you is very good and correct. Similarities and thinking solve the problem.