Локальная банахова алгебра без делителей нуля

[kp9r4d]

Нужно привести пример банаховой алгебры с единственным (нетривиальным) максимальным идеалом. Есть подсказка, что пример нужно искать среди подалгебр $\mathbb{C}[[z]]$ таких, что выполняется $\sum_n |c_n| w_n < \infty$ для некоторого положительного специально подобранного ряда $w_n$. Не выходит ничего придумать уже второй день.

[Nsk]

(Оффтоп)

Сходу не напишу, но на первый взгляд трудности не видно: для $\mathbb{C}[[z]]$ можно даже формулку написать для коэфициентов обратного ряда. Условие, что банахова подалгебра такова вида локальна эквивалентно тому, что множество необратимых элементов "образует" идеал. Тоже ведь это условие несложно выписать.

[kp9r4d]

А норму каким образом вводить?

[g______d]

https://en.wikipedia.org/wiki/Disk_algebra

-- Пт, 29 янв 2016 19:20:12 --

Хоть я и не знаю, можно ли просто описать норму через степенные ряды, но необратимые элементы в ней устроены довольно просто.

[Brukvalub]

Рассмотрите алгебру бесконечных комплексных формальных степенных рядов $r=c_0+c_1z+c_2z^2+...$ с обычными операциями и нормой$ ||r||=\sum_{i=1}^{\infty} | c_i|a_i$ ,где $a_i$ образуют положительную последовательность с мультипликативным условием $a_{i+k}\le a_i\cdot a_k $. Докажите, что при наложении доп. условия ${a_i}^{\frac1i}=0(1)$ описанная банахова алгебра имеет только один максимальный идеал, опишите его явно.
(для g______d: в аспирантские годы я сдавал Е.А. Горину отчет по книге Гамелина "равномерные алгебры" и перед этим хорошенько эту книгу проработал. Не упомню конструкции диск-алгебры с единственным максимальным идеалом, более того, сильно подозреваю, что это попросту невозможно ).

[g______d]

Да, что-то я торможу. В алгебре по моей ссылке полно максимальных идеалов.

[kp9r4d]

Brukvalub
Да, спасибо, всё действительно оказалось просто. Чтобы доказать единственность максимального идеала для последовательности, например $a_n=2^{-2^{n}}$ достаточно вспомнить, что в коммутативной унитальной банаховой алгебре максимальный идеал - это ядро некоторого гомоморфизма $\varphi$ и наоборот. Если $\varphi(x) \neq 0$ (здесь $x$ - это элемент $\mathbb{C}[[z]]$, а не свободный терм), то гомоморфизм будет не well defined на элементе $\sum_n \frac{x^n}{\varphi(x)^n}$ (этот элемент принадлежит алгебре при любом $\varphi(x)$ как раз в силу сверхэкспоненциального убывания $a_n$), а если же $\varphi(x) = 0$, то оно даст как раз единственный максимальный идеал - тот, который $c_0 = 0$.

[kp9r4d]

Поправка:

Цитата:

здесь $x$ - это элемент $\mathbb{C}[[x]]$