Рыбки

[dchnick]

В $2016$ аквариумах плавают $1,2,3\dots2016$ золотых рыбок. Петя и Вася по очереди выбирают два аквариума с разным количеством рыбок и переселяют рыбок так, чтобы количество в этих аквариумах стала одинаковой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто имеет выигрышную стратегию и, если да, то какую?

Мое решение: Концом игры, то есть такой ситуацией, когда нельзя будет сделать ход, будет такая ситуация, когда во всех аквариумах будет поровну рыбок. Посчитаем общую сумму: $S_{2016}=\frac{2+2015}{2}\cdot2016=2017\cdot 1008$, что на $2016$ нацело не делится. Поэтому, они не имеют выигрышных стратегий.
Вот как-то так. Может, кто-нибудь подскажет. Я не очень большой мастер в подобного рода задачах. К сожалению, задачи, связанные с играми (кроме, конечно, матричных), я не знаю, почему, но вызывали у меня с детства глубочайшее отвращение...
Спасибо.

[venco]

Игра точно когда-нибудь кончится, т.к. сумма квадратов после каждого хода уменьшается.

[dchnick]

venco Я, вроде, еще условие нашел конца игры. Например, у нас осталось $2015$ аквариумов с одним и тем же нечетным числом рыб и один аквариум с четным числом. тогда игра тоже кончится.
С другой стороны, сумма рыбок четна, а в случае, о котором я написал, всегда дает нечетное число...
Еще подумал. Этот случай не подходит.
Посмотрел на случай $1,2,\dots,8$
Можно свести до
$4,4,4,5,5,5,4,5$ что будет концом, и победный ход сделает второй игрок.
Я подумаю над этим...

[DeBill]

Выигрывает второй (симметричная стратегия).
Всего рыбок $2017 \cdot 1008$. Для удобства, выбросим их всех (выбросим из каждого аквариума по $\frac{2017}{2} = 1008\frac{1}{2}$ рыбок). Тогда все ящики разбились на пары вида $a,-a$, и пар таких - четное число. Второй будет сохранять эту ситуацию: если первый усреднит пару $a,-a$, то второй ответит какой-нибудь парой $b,-b$. Если же первый усреднит (не до нуля) ящики $a,b$, то второй ответит ходом $-a,-b$. Поэтому второй не проиграет. Но, как заметил venco , игра конечна. Значит, второй выиграет.
ЗЫ А "концевых" ситуаций довольно много.

[NSKuber]

DeBill в сообщении #1095253 писал(а):

если первый усреднит пару $a,-a$,

Такого не будет, так как до "выбрасывания" $a$ и $-a$ имели разную чётность. А так верно, стратегия $a,b \to -a,-b$ гарантирует, что после хода второго все аквариумы можно разбить на такие пары, а значит второму будет чем ходить.

[dchnick]

DeBill,NSKuber Большое спасибо!