2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 12:20 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
Пусть есть у нас некоторое множество перестановок порядка $n$. Есть также некоторый набор перестановок $a_1, a_2, ..., a_k$, назовем его $A$. Существует ли способ узнать иначе чем полным перебором ответ на вопрос: любая ли перестановка порядка $n$ представима в виде произведения перестановок из $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2514
СПб
Вероятно, имеется ввиду следующее: пусть $A,B$ -- некоторые множества перестановок (одного порядка), причем $|A|=k$. Вопрос о способе как узнать, что $B\subset\langle A\rangle$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 12:32 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
Чтобы сказать, правильно ли Вы переформулировали вопрос, мне бы сначала узнать, что означают угловые скобочки вокруг $A$ :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Угловые скобки означают порождение. Так как группа перестановок конечна, то каждый элемент порождает конечную циклическую подгруппу, в которой есть обратный к нему. Так что для конечных групп порождение есть множество конечных произведений самих элементов, а обратные элементы уже предполагаются существующими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Для некоторых наборов заведомо известно, что они порождают всю группу перестановок ( например, все транспозиции ). Если заданное множество перестановок содержит или порождает такое, заведомо порождающее $S_n$, множество, то все хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 13:57 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
Ну да. Пойдет также набор транспозиций, скажем, первого элемента с каждым из остальных; из такого набора получится и набор всех транспозиций, а из него уже. А, скажем, для набора, в котором первый элемент всегда остается на своем месте, можно сразу сказать, что он никоим образом не породит перестановку, в которой первый элемент стоит не на первом месте.

Так вот меня и интересует общий критерий отделения агнцев от козлищ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Набор непересекающихся циклов, например, не порождает всего (пардон, не знаю, агнцами Вы это считаете или козлищами). Может быть, каждую перестановку из $A$ разложить в циклы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 14:19 


08/05/08
583
gris в сообщении #1095021 писал(а):
Может быть, каждую перестановку из $A$ разложить в циклы?

Для начала да. Но вот вам пример:
Кубик-рубика, его преобразования вполне себе образуют сабжевую группу. Порождающие элементы известны. Можете ли вы взглянув на эти порождающие элементы сказать, что поворот одного уголка невозможен? (замечу - это четная подстановка)
Доказательство без теории групп мне удалось придумать, а исходя из вида порождающих элементов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
INGELRII в сообщении #1095019 писал(а):
Так вот меня и интересует общий критерий отделения агнцев от козлищ?

Не уверен, что требуемый критерий можно сформулировать так, чтобы он был бы эффективно проверяемым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 14:26 


08/05/08
583
Вообще, думаю проверка может быть может быть организована как нахождение пути до единицы из каждого проверяемого элмента в графе кэли

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 14:45 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
ET
Великие умы мыслят одинаково :D Вопрос изначально и возник из графов Кэли, содержит ли граф все эн-факториал вершин для заданных образующих, или все-таки чуть поменьше.

Иными словами, я так понял, что вопрос либо не решен, либо не решался? И в общем случае ответ даст только перебор, только хардкор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
INGELRII , компетентный ответ на ваш последний вопрос может дать только крутой алгебраист, лучше всего, если это будет спец. по комбинаторной теории групп. Ждите такого специалиста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Можно построить полиномиальный алгоритм, используя технику из статьи M. Furst, J. Hopcroft, E. Luks, "Polynomial time algorithms for permutation groups"

 Профиль  
                  
 
 Re: Внеочередной вопрос про перестановки
Сообщение29.01.2016, 18:30 
Аватара пользователя


11/08/11
1125
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group