Агатовые числа

[Ktina]

Натуральное число называется агатовым, если оно является точным кубом и не заканчивается нулём, причём после зачёркивания у этого числа двух последних цифр снова получится точный куб.

а) Существуют ли агатовые числа, помимо 125 и 2744?
б) Существует ли наибольшее агатовое число?

[Dmitriy40]

Тупой перебор чисел до $9 \cdot 10^{18}$ показывает:
а) других агатовых чисел нет;
б) если зачёркивать одну цифру - подходящих чисел вообще нет ни одного;
в) если зачёркивать 4 цифры, то чисел прилично: 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 85184, 274625, 1259712, 13312053;
г) если зачёркивать 5 цифр, то чисел ещё больше: 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 804357, 830584, 857375, 884736, 2744000, 6434856, 34328125, 172808693, 1382469544;
д) если зачёркивать 7 цифр, то чисел ещё больше, максимальное - 15208751960576;
е) если зачёркивать 8 цифр, то чисел опять больше, максимальное - 68147291415736;
ж) если зачёркивать ещё больше цифр, то и чисел становится больше, но всё равно сильно ограниченно.
Так что думаю других агатовых и правда нет.

[svv]

Условие с нулём можно отбросить.

Похоже, что других чисел нет.
Существование наибольшего агатового числа вроде бы следует из теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел (о которой я узнал 15 минут назад). Штука в том, что $\sqrt[3]{100}$ — число алгебраическое, а из условий задачи
$100 q^3<p^3<100(q^3+1)$, откуда
$|\frac p q-\sqrt[3]{100}|<\frac C{q^3}$,
а существование бесконечного количества различных несократимых дробей $\frac p q$, приближающих $\sqrt[3]{100}$ с такой точностью, противоречит этой теореме. Но надо, чтобы специалисты подтвердили.

[Dmitriy40]

Интересно что аналогичное условие для квадратов (с зачёркиванием одной последней цифры) даёт похоже бесконечную последовательность A023110 (уже нашёл в неё ещё 7 следующих чисел).

[Ktina]

svv
Dmitriy40
Спасибо!

-- 27.01.2016, 11:55 --

svv в сообщении #1094547 писал(а):

Условие с нулём можно отбросить.

(Оффтоп)

С математической точки зрения это верно. Однако я стараюсь формулировать задачи таким образом, чтобы позже их (а также те задачи, по мотивам которых они придуманы) было легче найти в Интернете.

[Aritaborian]

Dmitriy40 в сообщении #1094545 писал(а):

Тупой перебор чисел до $9 \cdot 10^{18}$ показывает

Чем пользовались для перебора?

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Aritaborian
Да на дельфи сбацал быстренько программку, даже не стал разбираться с математикой (куда там должно быть округление), сделал двумя циклами, по обоим кубам. Полчаса счёта и вуаля. А порог связан с ограничением в дельфи на int64, более длинных чисел нет.

[Dmitriy40]

Перепроверил числа до $10^{30}$, агатовых не найдено.

[svv]

Я так искал. Пусть агатовое число $p^3$, а после зачёркивания двух последних цифр получается $q^3$, тогда (повторяюсь)
$100 q^3<p^3<100 (q^3+1)$, откуда
$\sqrt[3]{100}<\frac p q <\sqrt[3]{100}\left(1+\frac 1{q^3}\right)^{\frac 1 3}$
Значит, надо найти дробь $\frac p q$, которая бы очень точно приближала с избытком число
$\sqrt[3]{100}=4{,}641588833612778892410076350919446576551349125011243637650692...$
Здесь и далее мне помогал WolframAlpha.

Воспользуемся непрерывными дробями. Их начальные «куски» — подходящие дроби — в определённом смысле дают наилучшее приближение данного вещественного числа. Раскладываем:
$\sqrt[3]{100}=[4; 1, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 4, 1, 1, 3, 1, 16, 1, 1, 1, 5, 8, 5, 1, 1, 1, 6, 4, 3, 1, 1, ...]$
Берём по очереди несколько первых элементов, всё больше и больше, причем чётное количество, чтобы приближение было с избытком:
$[4; 1]=\frac 5 1$, откуда $p=5, q=1$. Это даёт($p^3=125$) первое агатовое число Ktina.
$[4; 1,1,1]=\frac {14} 3=4{,}(6)$, откуда $p=14, q=3$. Это даёт ($p^3=2744$) второе агатовое число Ktina.

Дальше — хуже.
$[4; 1,1,1,3,1]=\frac{65}{14}=4{,}6(428571)$. Тогда $p^3=274625$, но $q^3=2744$. Ещё чуть-чуть, и было бы третье агатовое число.
Дальше ещё хуже.
$[4; 1, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 4, 1, 1, 3, 1, 16]=\frac{758858}{163491}=4{,}6415888336361022930925861362399...$. Тогда
$p^3=437000114404564712$, но
$q^3=4370001143979771$

Непрерывные дроби стараются, как могут. Но они обеспечивают лишь точность $\frac 1 {q^2}$ (и, неформально говоря, значительно точнее для алгебраических чисел быть не может по теореме Лиувилля), а задача требует точности порядка $\frac 1 {q^3}$.

[Andrey A]

svv в сообщении #1094791 писал(а):

$[4; 1,1,1]=4+\frac 1{1+\frac 1{1+\frac 1 1}}=$

Легче всё-таки выписывать подходящие дроби: $a_n=4,1,1,1,3,...=\dfrac{4}{1};\dfrac{5}{1};\dfrac{9}{2};\dfrac{14}{3};\dfrac{51}{11};...;\dfrac{p_{n+1}=a_{n+1}p_n+p_{n-1}}{q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}};...$
В отличии от кв. радикала последовательность $z_n=p^3_n-100q^3_n$ не ограничена, но это не значит, что не может быть $\left|z_n \right|<100$, хотя количество таких решений конечно. В данном случае можно дать грубое ограничение снизу для $a_{n+1}>\dfrac{\sqrt{4\cdot 100\cdot p_nq_n}}{z_n}$. Если $z_n<100$, то $a_{n+1}>\dfrac{\sqrt{p_nq_n}}{5}$, что означает резкий скачек последующего знака дроби. В случае $z_{13}<100$ дальше шло бы не $16$, а что-то $>4198$. Имея данные о верхнем пороге $a_n$ можно было бы хоть что-то сказать точно, но вот у Хинчина читаем: ...все, что известно об аппроксимации алгебраических иррациональностей высших степеней рациональными дробями, исчерпывается элементарными следствиями теоремы Лиувилля и некоторых более новых усиливающих ее предложений. Любопытно отметить, что до настоящего времени неизвестно разложение в цепную дробь ни одного алгебраического числа степени выше 2. Неизвестно, может ли такое разложение иметь ограниченные элементы; неизвестно, может ли оно иметь, наоборот, неограниченный ряд элементов и т. д.
Это написано до 1960г., и с тех пор о прорывах в этой области что-то не слышно.
$\sqrt[3]{115}=4,1,6,3,2,1,1,1,821,2,...$
В восьмом знаке имеем $958^3-115\cdot 197^3=17$ Меньше только $z_2=$5^3-115\cdot 1^3=10$.

[svv]

Andrey A в сообщении #1094870 писал(а):

Легче всё-таки выписывать подходящие дроби:

Это для иллюстрации, всё считал Вольфрам.

[prof.uskov]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1094537 писал(а):

Натуральное число называется агатовым, если оно является точным кубом и не заканчивается нулём, причём после зачёркивания у этого числа двух последних цифр снова получится точный куб.

а) Существуют ли агатовые числа, помимо 125 и 2744?
б) Существует ли наибольшее агатовое число?

Простите за наивный вопрос. Из каких задач появляются агатовы числа и для чего они нужны? Или это просто математическая головоломка?

[Aritaborian]

Это ж Ktina ;-) Как будто вы первый день на форуме.

[svv]

Перед лицом математики, этой бездны, пронизывающей нас беспощадным взглядом, все задачи равны, независимо от «практической значимости».

[Andrey A]

svv в сообщении #1094887 писал(а):

Это для иллюстрации, всё считал Вольфрам.

Нет, я не думаю что Вы рисуете лесенку. Просто для наглядности она полезна не всегда. ИМХО.