Полусумма матрицы и транспонированной ей

[SuperH1]

Пусть $A$ -- вещественная матрица. Рассмотрим матрицы $A^T$, $\dfrac{1}{2}(A + A^T)$.
Собственные значения матриц $A$ и $A^T$ совпадают, и если $\lambda$ -- собственное значение, то $\overline\lambda$ -- также собственное значение.

Как связаны собственные значения матриц $A$ и $A^T$ с собственными значениями матрицы $\dfrac{1}{2}(A + A^T)$?

[Red_Herring]

SuperH1 в сообщении #1094747 писал(а):

Как связаны собственные значения матриц $A$ и $A^T$ с собственными значениями матрицы $\dfrac{1}{2}(A + A^T)$?

Никак

[arseniiv]

Конструкция весьма ненатуральная, т. к. транспонированная матрица — это матрица транспонированного оператора, который действует на сопряжённом пространстве. Складывать их можно будет только в присутствии скалярного произведения, которое позволит превратить $V\otimes V^*$ в $V^*\otimes V$ способом, отличным от канонического изоморфизма $A\otimes B\cong B\otimes A$, который, можно сказать, и порождает транспонирование операторов — и потому если применить последний, мы получим двойное транспонирование и скучную сумму $A+A$. А если мы применяем скалярное произведение, то мы должны превратить некорректное $A^T\mathbf x$ в подразумевающееся вместо него $(\mathbf x^\flat A^T)^\sharp$, и сумму этого с $A\mathbf x$ особо не упростишь.

(Поправьте меня, если что.)

[svv]

$A=\begin{bmatrix}4&12\\0&9\end{bmatrix} \quad\quad\quad\frac 1 2(A+A^T)=\begin{bmatrix}4&6\\6&9\end{bmatrix}$
SuperH1, найдите определители.

SuperH1 в сообщении #1094747 писал(а):

Как связаны собственные значения матриц $A$ и $A^T$ с собственными значениями матрицы $\frac{1}{2}(A + A^T)$?

Попытка хоть что-то придумать: сумма всех собственных значений для этих матриц совпадает.

[SuperH1]

Большое спасибо за ответы.
Я посчитал сумму собственных значений $A$ и $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ в Octave для нескольких вещественных матриц, и похоже, что эта сумма для матриц $A$ и $B$ совпадает и равна следу матрицы $A$.

[Otta]

Этот факт тривиально доказывается. Попробуйте.
Но Вы спрашивали, как связаны собственные значения, а не их суммы.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Кстати, у собственных значений матрицы есть какой-то геометрический смысл? Вот возьмем матрицу второго (для простоты) порядка и будем считать, что каждая строка - это координаты вектора. Тогда определитель - это площадь параллелограмма, сторонами которого являются эти векторы (ну, взятая со знаком плюс или минус). А собственные значения - это что?
А след?

[SuperH1]

Для матриц $2\times 2$ можно доказать, что если у матрицы $\frac{1}{2}(A + A^T)$ только положительные собственные значения, то у собственных значений матрицы $A$ только положительные вещественные части.
Верно ли это для матриц произвольной размерности $n\times n$?
Такой результат был бы полезен для исследования устойчивости систем диффуров.

[Евгений Машеров]

Если матрица положительно определённая - это оси эллипса, заданного $x^TAx=1$

[SuperH1]

Некоторая информация по моему вопросу имеется здесь.
Если вы что-нибудь дополните (например, ссылки на источники на русском или английском языках), буду признателен.
Есть ли обобщение этого результата на бесконечномерные банаховы/гильбертовы пространства?

[Brukvalub]

Евгений Машеров в сообщении #1094843 писал(а):

Если матрица положительно определённая - это оси эллипса, заданного $x^TAx=1$

Даже для матрицы семь на семь?

[Slav-27]

(Anton_Peplov)

Anton_Peplov в сообщении #1094836 писал(а):

Кстати, у собственных значений матрицы есть какой-то геометрический смысл?

Собственные значения -- это (при определённых условиях) полуоси эллипсоида, в который под действием соответствующего оператора переходит единичная сфера.

Про след: например, пусть матрица задаёт преобразование $G$, и рассмотрим малое преобразование $A=1+\varepsilon G$, где $\varepsilon$ - малый параметр. Тогда $\det A=1+\varepsilon\cdot\operatorname{tr} G$ с точностью до членов первого порядка по $\varepsilon$ при $\varepsilon \to 0$. Поэтому можно сказать, что при $\varepsilon\to 0$ изменение объёма единичного параллелепипеда под действием оператора $1+\varepsilon G$ пропорционально следу оператора $G$.

Более подробные поиски геометрического смысла смотрите там: http://mathoverflow.net/questions/13526/geometric-interpretation-of-trace.

[alcoholist]

Brukvalub в сообщении #1094851 писал(а):

Даже для матрицы семь на семь?

разумеется))
только эллипс семишестимерный

[svv]

Мне кажется, условие $\mathsf A\mathbf x=\lambda \mathbf x$ (где $\mathsf A: L\to L$ — линейный оператор) и так достаточно геометрично. Вектор $\mathbf x$, действие оператора $\mathsf A$ на который сводится к его растяжению, без вращения, и коэффициент $\lambda$ этого растяжения.

[Евгений Машеров]

Brukvalub в сообщении #1094851 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1094843 писал(а):

Если матрица положительно определённая - это оси эллипса, заданного $x^TAx=1$

Даже для матрицы семь на семь?

Если 7х7, а не 2х2, то не эллипса, конечно. Но эллипсоида.