Prisms thrown in a cube

[ins-]

In a cube with edge $9$ are "thrown" $40$ regular quadrangular (with a base square) prisms with base side $1,5$ and a height not greater than $1,4$. Prove that exists a globe (sphere) with radii $0,5$, lying inside the cube and having no common points with the prisms.

(Оффтоп)

Source of this problem is Bulgarian Math Olympiad - Regional round - 1974. I made some attempts to solve it without any meaningful success.

[TOTAL]

ins- в сообщении #1094695 писал(а):

In a cube with edge $9$ are "thrown" $40$ regular quadrangular (with a base square) prisms with base side $1,5$ and a height not greater than $1,4$.

In a cube with edge $8$ are "thrown" $40$ regular quadrangular (with a base square) prisms with base side $1,5$ and a height not greater than $1,4$ profusely ($0.5$ meter thick) covered with dust . Prove that exists a point, lying inside the cube and having no common points with the prisms.

[ins-]

What I'm understanding from written by you is to create a dust mountain containing the prisms with a 0,5 m dust layer covering it. Reasonable question here is: What can be the shape of this mountain and its covering layer? It doesn't look to be a pyramid or cone.

(Оффтоп)

I like Russian language and fully understand it, but I don't use it because it will be more tragic than my English. If you prefer use Russian.

[TOTAL]

Каждую призму со всех сторон покрыть слоем $0.5$.

Еще лучше каждую призму поместить в шарик радиуса $1.2$, а затем шарики раздуть на $0.5$. Этого все равно хватает для того, чтобы в кубе осталось пустое место.

[ins-]

TOTAL в сообщении #1094789 писал(а):

Еще лучше каждую призму поместить в шарик радиуса $1.2$

I had similar idea. I calculated the diameter of a sphere that can contain a prism is: $\sqrt{1,5^2+1,5^2+1,4^2}$ it is around $2,5416530054277668844919716907879$ - its radii is greater than 1,2. My next problem was - what is the maximal count of such spheres that can be put in a cube with edge 9 or 8? What I did was to use cubes that are circumscribed around these spheres and volumes in this way I wrongly calculated that 42 such a cubes can be put in the cube with edge 9. From here I was totally lost.
It is the reason to ask you to provide more details.

[DeBill]

TOTAL
Суммарный объем Ваших шаров (после замены 1.2 на 1.27) - что-то около 929.
Суммарный объем 0.5-окрестностей (по известным формулвм) - около 830.
Это - слишком много (объем куба с ребром 8 равен 512).
Так что стандартный Принцип Дирихле здесь не прокатывает. Нужны другие идеи.
Да верно ли само утверждение? (Оно - похоже на правду - просто наши шары-окрестности плохо прилегают друг к другу - хрен куб на них порежешь...)

[ins-]

I have a book dedicated to the Bulgarian Math Olympiad, published in 1990-th in Bulgarian. And what I wrote as a statement is almost the same as what is written in the book (I added some additional details to make the problem's statement clear enough). Here is the problem set from this year http://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO374.pdf . In what is written there are some mistakes. Guys from Italy and Serbia added them. What is curious to me - they gave 6 points for this problem while they gave 8 points for problem 6 (I'm capable to solve it).
The next problem I'm interested in is problem 2. In the book they solved it with complex numbers. Do you have any other ideas for it?
In the book there are some mistakes - but they are not so many / for example a system of equations I posted here from 1979 was wrongly written in the book /. If no one manages to solve this problem - it is wrong or it is not for a regional round but for TST. Thank you for the time spent on it!

[TOTAL]

DeBill в сообщении #1094793 писал(а):

TOTAL
Суммарный объем Ваших шаров (после замены 1.2 на 1.27) - что-то около 929.

Да, я объем шара неправильно нашел. Тогда каждую призму придется раздуть на $0.5$.

Под призму подкладываем квадратный постамент $37/14 \times 37/14 \times 1/2$, высоту призмы увеличиваем до $37/15$. Общий объем получится менее $400$

[ins-]

There is something strange with this problem. I spent 4 days on it, but without a result and almost all of the sites I posted it are silent. A friend of mine told me he have a book where it is solved. In case no one manage to solve it and he find the book - I'll post the solution.

[DeBill]

TOTAL
Призмы расположены произвольноЖ их Грани не обязательно параллельны грпням куба.
Так что Ваши подставки не сработают

[DeBill]

ins-
Попробуем разместить в кубе с ребром 9 41 шар радиуса 0.5, так, что никакая призма не пересекается с двумя шарами.
Диагональ равна 2.54, значит, пусть расстояния между центрами шаров не менее 3.54. Получили задачу: в кубе со стороной 8, отметить 41 точку так, что расстояния между точками не менее 3.54. Это равносильно: В куб со стороной 11.54, уложить 41 шар радиуса 1.77.
Ясно, что стандартная "кубическая" укладка шаров не подходит. Но есть и более экономные укладки! (гексагональная?). Переделайте уголь в алмаз!

Попробуйте, может быть, получится...

Problem 2. Можно использовать гомотетии и повороты. Но это, фактически, то же самое, что и умножение на комплексные числа...
Problem 1. Пусть $a_{n+1}= a_n + \frac{1}{a_n}, a_0=2$. Положим $b_n=\frac{1}{a_n}$.
Тогда $b_0=\frac{1}{2}, b_{n+1}= f(b_n)$, где $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$.

Я люблю функцию $f_k(x) = \frac{x}{\sqrt{1+k\cdotx^2}}$: если $c_{n+1}= f_k()c_n$, то легко проверить, что $c_n = \frac{c_0}{\sqrt{1+k\cdotx_0^2}}$.

Заметим, что $f(x)<f_2(x)$ при $x>0$, $f(x) > f_{\frac{9}{4}}(x)$ при $0<x<\frac{1}{2}$.

Учитывая монотонность всего, получим $a_n \in (\sqrt{a_0^2 + 2\cdotn}, \sqrt{a_0^2 + \frac{9}{4}\cdotn})$. при $n=1974, a_0=2$ получим $(62.8, 66.67)$ (если я не ошибся в арифметике).

Problem 3. Индукция по $n$. Пусть уже есть $k$ с нужным свойством. Пусть $N$- произведение этих чисел, умноженное на квадрат $(k+1)$- го. Увеличим все $k+1$ число на $N$. Стало лучше! Повторив это $k$ раз, сделаем шаг индукции.

Problem 4. Из формул для сумм кубов и квадратов, получим уравнение. У него, чудесным образом, есть натуральное решение $x=5$.

-- 28.01.2016, 19:08 --

ins-

Problem 6. Точки $B$ и $Q$ симметричны относительно прямой $OA$, точки $B$ $R$ -относительно прямой $OC$. При этом, периметр вписанного треугольника с вершинами $B, M$ и $N$, разворачивается в ломаную $QMNR$, длина которой не меньше длины отрезка $QR$ (и равна, для треугольника минимального периметра. Фактически, мы сейчас повторяем доказательство минимальности периметра вписанного для треугольника с вершинами в основаниях высот)

[ins-]

DeBill,
Thanks for the solutions!
It is very interesting to see alternative approaches.
Problem 1. It can be solved just by observing $\frac{1}{a_n} \le 1$ and adding equations. Your estimations are stronger than what is written in this way.
Problem 2. I'm wondering for it - probably analytical geometry may be used but with "standard" methods - similarities and trigonometry it is not easy. Vectors and complex numbers are the simplest methods for solving it.
Problem 3. Some very strange constructions with factorials can be used combined with induction.
Problem 4. In the book it is written a solution similar to your idea.
Problem 6. The key moment here is to observe that the orthic triangle is the triangle with minimal perimeter that can be inscribed in an acute angled triangle. It is known as Fangano's problem https://en.wikipedia.org/wiki/Fagnano%27s_problem. Inscribed angles and trigonometry solve the problem.

Are you sure about the idea for hexagonal projection?

[DeBill]

ins-

Нет. Но можно попробовать: в первом слое: уложим шары "красиво": чтобы центры соседних были в вершинах равностороннего треугольника. На седующем слое - положим шары в "ямки", и "т.д." - но тут уже надо считать... Вообще, о плотных упаковках шаров должно быть много чего известно - в интернете. Может, и получится.

[ins-]

The other possible approach is to consider what if the prisms are in the corners and edges of the cube with edge 9. I and a friend of mine continue working in this direction, but not a complete solution till now.

[DeBill]

ins-

Вроде бы получается: В квадрате со стороной 8 можно отметить 8 точек: вершины "треугольной" (со стороной 3.54) сетки, так что в первом слое уместилось 8 шаров. Но в следующем слое уместится 9 (кажется) шаров! (Их центры - над центрами треугольников из первого слоя) Затем - снова 8, 9 и 8, всего - 42! Осталось аккуратно посчитать расстояния между слоями, чтобы убедиться, что пятый слой не вылазит из коробки . (Надо всё точно посчитать - но мне лень...)