2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Компактность оператора
Сообщение27.01.2016, 05:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Задан оператор $A : C^1[0;1] \to L^1[0;1]$ формулой $(Ax)(t) = \frac{x(t^2)}{\sqrt{t}}.$ Необходимо проверить его на компактность.
Интуиция подсказывает, что он не компактный, но непонятно какую последовательность функций выбирать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение27.01.2016, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Найти "плохую" последовательность вряд ли удастся:
Компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме. Критерий слабой сходимости в $C^1[0;1]$: равномерная ограниченность и поточечная сходимость к пределу. Но тогда в $ L^1[0;1]$ по т. Лебега непременно возникнет сходимость по норме, так что на этом пути противоречие не получить.
Возможно, в образе этого оператора удастся найти бесконечномерное замкнутое подпространство, что противоречит компактности?
И еще, может, этот оператор - компактный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение28.01.2016, 02:23 


28/01/16
1
Давно уже не занимался математикой, если что-то не так скажу прошу меня извинить. Мне кажется, оператор должен быть компактным по тривиальной причине, просто потому что что компактно вложение $Id:C^1[0,1] \to C[0,1]$.

Если же оператор рассматривать как действующий из $C[0,1]$, тогда компактности действительно быть не должно. Контрпример строится в этом случае также просто, на основе последовательности функций Радемахера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность оператора
Сообщение28.01.2016, 07:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
fjhn, Вы конечно же правы. Здесь тот редкий случай когда $id$ - компактный оператор. К решению должны были подтолкнуть рассуждения наподобие тех, которые провел Brukvalub, и тот факт, что для непрерывности оператора $A$ достаточно и равномерной нормы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group