Демидович 1038

[Guliashik]

Найти производную $y'_x$, если $x = -1 + 2t - t^2$, $y=2-3t+t^3$. Чему равно $y'_x(x)$ при $x=0$.
$t =1 \pm \sqrt{-x}$. Тогда при $x=0$, $t=1$.
$y'_x=\frac{-3+3t^2}{-2t+2}$ и при $t=1$ неопределено. В ответе указано что $y'_x(0)=-3$. Где я ошибся?

[Lia]

Сократите.

[Guliashik]

А как сократить $\frac{0}{0}$?

[Brukvalub]

В точках, где не выполняются условия т. о дифференцировании параметрической функции, производную принято искать "вручную", исходя из определения.

[Someone]

Guliashik в сообщении #1094672 писал(а):

А как сократить $\frac{0}{0}$?

Никак. А кто Вам сказал, что сократить надо именно $\frac 00$?

[Guliashik]

Someone
Я имел ввиду сокращение $(t-1)$ которое равно $0$.

-- 27.01.2016, 21:36 --

Brukvalub, а каким образом поступают когда функция отображает точку в два значения?

[Brukvalub]

Guliashik в сообщении #1094677 писал(а):

Brukvalub, а каким образом поступают когда функция отображает точку в два значения?

Учить определение функции, чтобы не говорить глупостей.

[Guliashik]

Всем спасибо! Буду разбираться.

[Someone]

Guliashik в сообщении #1094677 писал(а):

Я имел ввиду сокращение $(t-1)$ которое равно $0$.

$t-1$ будет равно нулю, когда Вы в него подставите $t=1$. А пока не подставили, никакого нуля не наблюдается.

А если хотите, чтобы всё было аккуратно, последуйте совету

Brukvalub в сообщении #1094674 писал(а):

В точках, где не выполняются условия т. о дифференцировании параметрической функции, производную принято искать "вручную", исходя из определения.

[alcoholist]

Guliashik
лучше нарисуйте эскиз кривой вблизи $\tau=t-1=0$

[Guliashik]

$y'_x(t(x)) = y'_t(t(x)) t'_x(x)$

$y'_t(t(x)) = -3 + 3t^2$, $y'_t(t(0)) = y'_t(1) = 0$

Проблемы с $t'_x(x)$. Если выразить явно $t$ через $x$, то $t=1\pm\sqrt{-x}$. Производную такой функции я понятия не имею как считать. Но если брать только лишь одну из ветвей, то там производной в точке $x=0$ нет.

Попробую посчитать из данного равенства $x=-1+2t-t^2$. Возьмём производную по $x$ от обеих частей.

$1=2t'_x(x)-2t(x)t'_x(x)$, что опять же ни к чему хорошему не приводит.

Видать у меня какие-то базовые провалы. Посоветуйте какие главы следует перечитать из Зорича. Или может какие-то наводящие примеры. Спасибо.

[alcoholist]

Guliashik
Обоснуйте формулу
$\frac{dy}{dx}|_{x=0}=\lim\limits_{t\to 1}\frac{y(t)-y(1)}{x(t)-x(1)}$

[Guliashik]

alcoholist
$\lim\limits_{t\to 1}\frac{y(t) - y(1)}{x(t)-x(1)}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{y(t(x + h)) - y(t(x))}{h}$.

Для $\delta$-окрестности точки $t=1$, можно подобрать окрестность точки $h=0$ такую что, образ этой окрестности принадлежит образу другой окрестности (например $h < \delta^2$)?

[alcoholist]

Guliashik
Впрочем, я, наверное, имею ввиду слишком длинный путь. Чтобы обосновать очевидную формулу, которую я привел, нужна большая аккуратность.
Почему бы не заметить, что $y=-3x+o(x)$ просто скомбинировав формулы параметризации?

[Guliashik]

alcoholist,

$y=(t+2)(t^2-2t+1)=-(t+2)x=-2x - xt(x)=-3x \pm x\sqrt{-x}$. И в целом всё хорошо, но как относиться к $\pm$ я понять не могу..