Тригонометрическое уравнение

[T-Mac]

Помогите решить. Все известные мне методы перепробовал. Ничего не получается.
$\cos 3x-\cos 5x=\cos 4x$

[Профессор Снэйп]

$$ \cos 3x - \cos 5x = -2 \cos 4x \sin x $$

Вроде так, хотя не уверен.

Добавлено спустя 2 минуты 39 секунд:

Нет, не так. Но должно быть что-то похожее. Посмотрите, как разность косинусов расписывается.

[nefus]

Почти так, $cos3x-cos5x=2sin4xsinx$

[T-Mac]

В том то и дело, что так не получается.
В том смысле , что ни к чему не приводит.

[nefus]

Это почему не получается, ну ка напишите формулу $cos\alpha - cos\beta$

Добавлено спустя 10 минут 11 секунд:

Почему не получается, все нормально получается:
$2sin4xsinx=cos4x$=>$2tg4x=1/sinx$=>$2tg4x=\sqrt{1+tg^2x}/tgx$=>$4tg^2xtg^24x=1+tg^2x$ Ну а дальше дело техники

[T-Mac]

Не очень понял: какими формулами вы пользовались при решении.

[nefus]

Да конечно степени получатся большие, но тем не менее...
А формулы такие $\frac{1}{sinx}=\pm\sqrt{1+\frac{1}{tg^2x}}$ и соответсвенно
$\frac{1}{cosx}=\pm\sqrt{1+tg^2x}$

[Алексей К.]

nefus
Не стоит пропагандировать неправильные формулы (и "полуправильные" тоже).
У Вас слева --- величины любого знака, справа --- положительные

[T-Mac]

Уравнение четвертой степени получается , а я ещё только до тангенса двойного угла дошел.
Кажется , что уравнение будет нерешаемое.

[Алексей К.]

Мне тоже так кажется (получается уравнение 5-й степени относительно $\cos x$).
А вот если ошибиться и нечаянно в условии заменить минус на плюс --- то вполне решаемое.
Не пройдёт такой номер?

Добавлено спустя 3 минуты 14 секунд:

T-Mac писал(а):

Уравнение четвертой степени получается , а я ещё только до тангенса двойного угла дошел.

Не верю... И куда уж дальше, чем этот тангенс. Это конец...

[незваный гость]

Если заменить $t = \cos x$, и выразить все косинусы через него, то мы получим уравнение 5-ой степени $16 t^5 +8t^4 - 24 t^3-8t^2+8t+1 = 0$. Я не думаю, что оно имеет корни, выразимые в радикалах. Но 4 из 5 корней лежат в диапазоне $[-1,1]$

[nefus]

Алексей К., согласен на счет знаков, но потом мы возводим корень в квадрат, поэтому это не важно.

[незваный гость]

nefus
Заменить знак в условии.

А возводить в квадрат не нужно (и вредно).

[Алексей К.]

nefus писал(а):

Алексей К., согласен на счет знаков, но потом мы возводим корень в квадрат, поэтому это не важно.

С тем, что это не важно, не соглашусь (хотя из вежливости может и следовало бы ).
Написаны неправильные формулы. Кто-то поверит, перепишет...
Да, потом мы, возможно (так часто бывает) возводим обе части уравнения (а не корень) в квадрат.
Чтобы убедиться, что это не важно, поставьте по-честному плюс-минусы перед радикалами и убедитесь, что все они при возведении в квадрат исчезли. А без этого Ваше утверждение --- не всегда правильная и потому опасная догма.

Ну и не забудем, что возведение в квадрат есть процедура, требующая внимания.

К рассматриваемому уравнению эти замечания неприложимы: как уже выяснилось --- нужды нет в таких методах и формулах.

[nefus]

Да, впринципе, нашел у себя ошибочку. Но можно и таким методом, как я написал.
Но лучше наверное так: $2sin4xsinx=cos4x$ => $2tg4xsinx=1$ => $\frac{4tg2x}{1-tg^2x}sinx=1$ => $4sin2xcos2xsinx=cos^22x-sin^22x$ => $8sin^2xcosx(2cos^2x-1)=(2cos^2x-1)^2-4sin^2xcos^2x$ В итоге получим $16cos^5x+8cos^4x-24cos^3x-8cos^2x+8cosx+1=0$ Получилось уравнение пятой степени (как у Незванный Гость)