Уд+военный факториал=удвоенный факториал

[Ktina]

Уд - это куб факториала простого числа.
Военный факториал - это факториал квадрата простого числа.

Имеет ли уравнение

$$u+v=2n!$$

, где $u$ - уд, $v$ - военный факториал, а $n$ - натуральное число, решения, помимо $(216,\quad 24,\quad 5)$?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[DeBill]

Ну, типа, нет...
Имеем уравнение

$(p!)^3 + (q^2)! = 2\cdot n!$


1. При $n\leqslant 2p$: $(p!)^3 \leqslant 2 n! \leqslant 2\cdot (2p)!$ . Тогда $p! \leqslant 2\cdot C^p_{2p} \leqslant 2^{p+1}$, что возможно токо при простых $p \leqslant 3$.

2. Имеем: $n>2p$. Но тогда правая часть уравнения делится на $p^2$. Значит, и $(q^2)!$ делится на $p^2$, так что $q^2 \geqslant 2p$

3. Между $p$ и $2p$ есть простое число; оба факториала на него делятся, а первое слагаемое - нет. Противоречие.
ЗЫ А зачем - $q^2$ ?

[Ktina]

DeBill
Спасибо!

-- 27.01.2016, 23:46 --

DeBill в сообщении #1094702 писал(а):

ЗЫ А зачем - $q^2$ ?

(Оффтоп)

Затем, чтобы Вы об этом спросили