Счетные и несчетные множества

[hanik]

То есть нужно, построить две инъективных функции: $P \rightarrow \mathbb_{R}$ и $ \mathbb_{R} \rightarrow P$?
Пока не могу понять как это сделать... Буду думать...

[svv]

Никак не поможет такая идея? Сопоставить возрастающей последовательности $n_1, n_2, ...$ бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-я цифра после запятой равна нулю, если $k$ принадлежит последовательности, и единице, если нет.

Интересно, что таким образом «бесплатно» исключаются «нехорошие» дроби, у которых, начиная с некоторой цифры, идут одни единицы, вроде $0{,}100(1)=0{,}101$, потому что последовательность неограничена. Так что соответствие между множеством таких последовательностей и множеством вещественных чисел $x\in[0,1)$ будет взаимно однозначным.

[Someone]

hanik в сообщении #1094522 писал(а):

Someone в сообщении #1094330 писал(а):

без ограничения общности можно считать, что $A\cap B=\varnothing$

Я не очень понимаю выражение "без ограничения общности". Здесь говорится про частный случай объединения, разве это не ограничение общности?

Нет, не ограничение:

Someone в сообщении #1094330 писал(а):

Поскольку $A\cup B=(A\setminus B)\cup B$

Brukvalub в сообщении #1094523 писал(а):

Попробуйте позвать дедушек Кантора с Бернштейном.

Мне кажется, что не стóит.

hanik в сообщении #1094522 писал(а):

Вот...

Что "вот"? Если Вы думаете, что из этого следует, что мощность $P$ равна континууму, то ошибаетесь.

svv в сообщении #1094532 писал(а):

Никак не поможет такая идея?

Хорошая идея. А ещё можно непрерывные дроби использовать: последовательности $n_1<n_2<n_3<\ldots$ поставить в соответствие непрерывную дробь $[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ (если натуральный ряд начинается с нуля, то $[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$).

[hanik]

Всем спасибо за ответы.

svv в сообщении #1094532 писал(а):

Никак не поможет такая идея? Сопоставить возрастающей последовательности $n_1, n_2, ...$ бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-я цифра после запятой равна нулю, если $k$ принадлежит последовательности, и единице, если нет.

Я думаю что этот ответ решает задачу, потому как нам нужно сопоставить каждой последовательности бесконечную дробь, но не вещественное число. Поэтому если последовательности $1, 2, 3, ...$ сопоставить дробь $0,111...$, то тогда все ок. Но если бы в условии задачи нужно было сопоставить вещественному числу, то не получилось, потому что $0,111...$ не определяет уникально вещественное число.

Someone в сообщении #1094534 писал(а):

А ещё можно непрерывные дроби использовать: последовательности $n_1<n_2<n_3<\ldots$ поставить в соответствие непрерывную дробь $[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ (если натуральный ряд начинается с нуля, то $[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$).

Если я правильно понимаю, при записи числа дробью должно быть какое-то число натуральное число $q$, такое что каждый знак дроби принимает значение $\{0,...,q-1\}$. Но разницу между соседними элементами последовательности можно сделать большей любого $q$. Правильно?

[arseniiv]

hanik в сообщении #1094905 писал(а):

потому что $0,111...$ не определяет уникально вещественное число.

Это как? Это же единица.

[hanik]

Я понял почему.

svv в сообщении #1094532 писал(а):

Интересно, что таким образом «бесплатно» исключаются «нехорошие» дроби, у которых, начиная с некоторой цифры, идут одни единицы, вроде $0{,}100(1)=0{,}101$, потому что последовательность неограничена.

Никакой последовательности не может соответствовать конечная дробь, значит каждая дробь соответствует только одной последовательности.

[svv]

На всякий случай поясню подробнее. Конечным двоичным дробям соответствуют последовательности, у которых, начиная с некоторого места, натуральные числа идут подряд, без пропусков.

Так, конечная двоичная дробь $0{,}101$ из моего примера может быть записана в виде бесконечной двумя способами:
$0{,}101000000...$
$0{,}100111111...$
Первому способу соответствует бесконечная последовательность ($2,4,5$, далее все).
Второму — никакая, так как ($2,3$) — последовательность конечная и потому не годится.
Но мы ведь и так обычно предпочитаем первый способ, верно?

[Someone]

hanik в сообщении #1094905 писал(а):

Поэтому если последовательности $1, 2, 3, ...$ сопоставить дробь $0,111...$

Вы невнимательно прочитали то, что предложил svv.

hanik в сообщении #1094905 писал(а):

Если я правильно понимаю, при записи числа дробью должно быть какое-то число натуральное число $q$, такое что каждый знак дроби принимает значение $\{0,...,q-1\}$.

Очевидно, что Вы не знаете, что такое непрерывная дробь. Но это не к спеху. Идея svv проще.