2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение27.01.2016, 00:40 
То есть нужно, построить две инъективных функции: $P \rightarrow \mathbb_{R}$ и $ \mathbb_{R} \rightarrow P$?
Пока не могу понять как это сделать... Буду думать...

 
 
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение27.01.2016, 00:56 
Аватара пользователя
Никак не поможет такая идея? Сопоставить возрастающей последовательности $n_1, n_2, ...$ бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-я цифра после запятой равна нулю, если $k$ принадлежит последовательности, и единице, если нет.

Интересно, что таким образом «бесплатно» исключаются «нехорошие» дроби, у которых, начиная с некоторой цифры, идут одни единицы, вроде $0{,}100(1)=0{,}101$, потому что последовательность неограничена. Так что соответствие между множеством таких последовательностей и множеством вещественных чисел $x\in[0,1)$ будет взаимно однозначным.

 
 
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение27.01.2016, 01:15 
Аватара пользователя
hanik в сообщении #1094522 писал(а):
Someone в сообщении #1094330 писал(а):
без ограничения общности можно считать, что $A\cap B=\varnothing$

Я не очень понимаю выражение "без ограничения общности". Здесь говорится про частный случай объединения, разве это не ограничение общности?
Нет, не ограничение:
Someone в сообщении #1094330 писал(а):
Поскольку $A\cup B=(A\setminus B)\cup B$
Brukvalub в сообщении #1094523 писал(а):
Попробуйте позвать дедушек Кантора с Бернштейном.
Мне кажется, что не стóит.

hanik в сообщении #1094522 писал(а):
Вот...
Что "вот"? Если Вы думаете, что из этого следует, что мощность $P$ равна континууму, то ошибаетесь.

svv в сообщении #1094532 писал(а):
Никак не поможет такая идея?
Хорошая идея. А ещё можно непрерывные дроби использовать: последовательности $n_1<n_2<n_3<\ldots$ поставить в соответствие непрерывную дробь $[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ (если натуральный ряд начинается с нуля, то $[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$).

 
 
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 21:48 
Всем спасибо за ответы.
svv в сообщении #1094532 писал(а):
Никак не поможет такая идея? Сопоставить возрастающей последовательности $n_1, n_2, ...$ бесконечную двоичную дробь, у которой $k$-я цифра после запятой равна нулю, если $k$ принадлежит последовательности, и единице, если нет.

Я думаю что этот ответ решает задачу, потому как нам нужно сопоставить каждой последовательности бесконечную дробь, но не вещественное число. Поэтому если последовательности $1, 2, 3, ...$ сопоставить дробь $0,111...$, то тогда все ок. Но если бы в условии задачи нужно было сопоставить вещественному числу, то не получилось, потому что $0,111...$ не определяет уникально вещественное число.

Someone в сообщении #1094534 писал(а):
А ещё можно непрерывные дроби использовать: последовательности $n_1<n_2<n_3<\ldots$ поставить в соответствие непрерывную дробь $[0;n_1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$ (если натуральный ряд начинается с нуля, то $[0;n_1+1,n_2-n_1,n_3-n_2,\ldots]$).

Если я правильно понимаю, при записи числа дробью должно быть какое-то число натуральное число $q$, такое что каждый знак дроби принимает значение $\{0,...,q-1\}$. Но разницу между соседними элементами последовательности можно сделать большей любого $q$. Правильно?

 
 
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 22:41 
hanik в сообщении #1094905 писал(а):
потому что $0,111...$ не определяет уникально вещественное число.
Это как? Это же единица.

 
 
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 22:47 
Я понял почему.
svv в сообщении #1094532 писал(а):
Интересно, что таким образом «бесплатно» исключаются «нехорошие» дроби, у которых, начиная с некоторой цифры, идут одни единицы, вроде $0{,}100(1)=0{,}101$, потому что последовательность неограничена.

Никакой последовательности не может соответствовать конечная дробь, значит каждая дробь соответствует только одной последовательности.

 
 
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение28.01.2016, 23:45 
Аватара пользователя
На всякий случай поясню подробнее. Конечным двоичным дробям соответствуют последовательности, у которых, начиная с некоторого места, натуральные числа идут подряд, без пропусков.

Так, конечная двоичная дробь $0{,}101$ из моего примера может быть записана в виде бесконечной двумя способами:
$0{,}101000000...$
$0{,}100111111...$
Первому способу соответствует бесконечная последовательность ($2,4,5$, далее все).
Второму — никакая, так как ($2,3$) — последовательность конечная и потому не годится.
Но мы ведь и так обычно предпочитаем первый способ, верно?

 
 
 
 Re: Счетные и несчетные множества
Сообщение29.01.2016, 01:30 
Аватара пользователя
hanik в сообщении #1094905 писал(а):
Поэтому если последовательности $1, 2, 3, ...$ сопоставить дробь $0,111...$
Вы невнимательно прочитали то, что предложил svv.

hanik в сообщении #1094905 писал(а):
Если я правильно понимаю, при записи числа дробью должно быть какое-то число натуральное число $q$, такое что каждый знак дроби принимает значение $\{0,...,q-1\}$.
Очевидно, что Вы не знаете, что такое непрерывная дробь. Но это не к спеху. Идея svv проще.

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group