Доброго времени суток!
Прошу помочь в решении задач и указать на ошибки.
Есть три задачи из учебника Зорича по Математическому анализу, которые я пытаюсь решить.
a) Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
b) Объединение бесконечного множества и не более чем счетного множества имеет ту же мощность, что и исходное множество.
c) Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.
Решение.
a) Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
- бесконечное множество. Оно не пусто, поэтому найдём в нем хотя бы один элемент
![$x_{1}$ $x_{1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/0/7e0dded6496a3ed3f3c0db74604087ac82.png)
. Далее, в множество
![$A-\{x_{1}\}$ $A-\{x_{1}\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/8/e28dc724ebec944e3604a5a0daebff1582.png)
также не пусто, так как если бы оно было пусто, то
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
оказалось конечным множеством. Из
![$A-\{x_{1}\}$ $A-\{x_{1}\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/8/e28dc724ebec944e3604a5a0daebff1582.png)
берем элемент
![$x_{2}$ $x_{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/5/345508ce4e933b712fe803f442f74d6382.png)
. Продолжая, если у нас уже есть
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
элементов
![$x_{1}, ..., x_{n}$ $x_{1}, ..., x_{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/b/9ebe75a553ed717a0cda5c3ff6d23cea82.png)
, из бесконечного множества
![$A-\{x_{1}, ..., x_{n}\}$ $A-\{x_{1}, ..., x_{n}\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/3/cf3ea9e10e8162b634eb1c2d1e37dc3982.png)
возьмем элемент
![$x_{n + 1}$ $x_{n + 1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/2/ae267f55aab2b9494bdb7556432e63b682.png)
. Согласно принципу индукции, из
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
мы можем выделить счетное подмножество.
b) Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
- конченое или счетное множество,
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
- бесконечное множество. Согласно доказаному утверждению в задаче a) в
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
есть счетное подмножество
![$C = \{c_{1},...,c_{n},...\}$ $C = \{c_{1},...,c_{n},...\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/c/3acc508de11a943359da2f9d1f53f00d82.png)
.
Построим биективное отображение
![$g: C \rightarrow A \cup C$ $g: C \rightarrow A \cup C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c426567d72bc2bbfbb101aa5c41c64382.png)
- если
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
конечно, то
![$A = \{a_{1},...,a_{m}\}$ $A = \{a_{1},...,a_{m}\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/a/ffa22625d357bcfd1b1bb1714ef3696482.png)
и
![$g(c_{n}) = \begin{cases} a_{n} &\mbox{if } n \le m\\
c_{n+m} & \mbox{if } n > m\end{cases} $ $g(c_{n}) = \begin{cases} a_{n} &\mbox{if } n \le m\\
c_{n+m} & \mbox{if } n > m\end{cases} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/0/f00fbae3111db3b02c7ccbc5c56b98a282.png)
- если
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
счетно, то
![$A = \{a_{1},...,a_{n},...\}$ $A = \{a_{1},...,a_{n},...\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/d/85db79c2220b991951713f0128f6a2da82.png)
и
![$g(c_{n}) = \begin{cases} a_{n} &\mbox{if } n = 2k + 1, k \in \mathbb{N} \\
c_{n} & \mbox{if } n = 2k, k \in \mathbb{N}\end{cases} $ $g(c_{n}) = \begin{cases} a_{n} &\mbox{if } n = 2k + 1, k \in \mathbb{N} \\
c_{n} & \mbox{if } n = 2k, k \in \mathbb{N}\end{cases} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47ff8d124cb0d9ad050166bb9e210d5182.png)
Теперь можно определить биекцию
![$f: B \rightarrow A \cup B$ $f: B \rightarrow A \cup B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/e/8ae1507fe3a76dc49bc07627a701067d82.png)
:
![$f(x) = \begin{cases} g(x) &\mbox{if } x \in C\\
x & \mbox{if } x \not\in C\end{cases} $ $f(x) = \begin{cases} g(x) &\mbox{if } x \in C\\
x & \mbox{if } x \not\in C\end{cases} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/b/30bf56c70097b9a02faa8e6fa1a2bec482.png)
.
c) Из определения иррациональных чисел известно что
![$\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$ $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/9/c090cbca94ebda6ccd8137c152c868c282.png)
. Это значит что
![$\mathbb{I} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ $\mathbb{I} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/e/67eadb702df8dceea1a9944369e3e1c682.png)
. Нам надо показать что
![$card(\mathbb{I} \cup \mathbb{Q}) = card\mathbb{I}$ $card(\mathbb{I} \cup \mathbb{Q}) = card\mathbb{I}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/1/d41fbb9eb00373a66a95d0043cdcf12282.png)
.
Покажем что
![$\mathbb{I}$ $\mathbb{I}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/6/4567a3e3433096c842571bce5104332182.png)
- бесконечное множество. Если бы оно было конечным, то по доказанному в задаче b) получилось что
![$card\mathbb{Q} = card (\mathbb{I} \cup \mathbb{Q})$ $card\mathbb{Q} = card (\mathbb{I} \cup \mathbb{Q})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/2/9520a54ae3b0454ea01f2e2da98a50da82.png)
, а это бы означало что множество
![$ \mathbb{R}$ $ \mathbb{R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/2/ca2eba5ffe01dac8dc747c0d47bb8c3982.png)
счетно, но мы знаем что множество действительных чисел несчетно. Значит
![$\mathbb{I}$ $\mathbb{I}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/6/4567a3e3433096c842571bce5104332182.png)
- бесконечное.
Применяя утверждение из задачи b) , где
![$\mathbb{I}$ $\mathbb{I}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/6/4567a3e3433096c842571bce5104332182.png)
- бесконечное множество, а
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
счетное множество, получаем:
![$card (\mathbb{I} \cup \mathbb{Q}) = card\mathbb{I}$ $card (\mathbb{I} \cup \mathbb{Q}) = card\mathbb{I}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/6/f8643cc5fb8efe0edc052a3b3f4c37c782.png)
, а это означает, что
![$card \mathbb{R} = card\mathbb{I}$ $card \mathbb{R} = card\mathbb{I}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/a/84a762eb9868f33357dfa115c3d019fe82.png)
.