Порядок неразложимой группы

[Sinoid]

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста. Вот дана конечная неразложимая в прямое произведение группа $G$. Верно ли тогда, что ее порядок есть только вида $p^{\alpha}$, где $p$-простое число, т.е. он не может иметь вид, скажем, $p^{\alpha}q^{\beta}$ или $p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}$? Я тут прикинул, вроде, да, это утверждение доказуемо (через теорему Силова).

[Xaositect]

Ну вот например $S_n$ не раскладывается в прямое произведение.

[Sinoid]

Ну тогда я ничего не понимаю. Смотрите. Допустим, к примеру, порядок неразложимой группы $G$ есть $p^{\alpha}q^{\beta}$, где $p$ и $q$- различные простые числа. По первой теореме Силова в группе $G$ имеются подгруппы $A$ и $B$ порядков $p^{\alpha}$ и $q^{\beta}$ соответственно. Порядки элементов $A\cap B$ должны, с одной стороны, делить $p^{\alpha}$, а, с другой стороны, они должны делить $q^{\beta}$, что, ввиду взаимной простоты $p$ и $q$, возможно только в одном случае: если он равен 1. Значит, $A\cap B=E$. А значит, я могу составить прямое произведение подгрупп $A$ и $B$. Ну тогда количество элементов этого прямого произведения есть $p^{\alpha}q^{\beta}$, а, значит, $G=A \cdot B$ и группа $G$ оказалось разложимой, вопреки предположению. Тогда, получается, в этом рассуждении где-то содержится ошибка, только я ее не вижу.

[Xaositect]

Sinoid в сообщении #1094257 писал(а):

Значит, $A\cap B=E$. А значит, я могу составить прямое произведение подгрупп $A$ и $B$. Ну тогда количество элементов этого прямого произведения есть $p^{\alpha}q^{\beta}$, а, значит, $G=A \cdot B$ и группа $G$ оказалось разложимой, вопреки предположению.

Для некоммутативных групп это неверно. Если есть две подгруппы с тривиальным пересечением, это не значит, что их произведение прямое. Для того, чтобы оно было прямым, надо еще, чтобы элементы групп коммутировали друг с другом.

[Brukvalub]

Sinoid в сообщении #1094215 писал(а):

он не может иметь вид, скажем,... $p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}$?

Почему?

[Sinoid]

Brukvalub в сообщении #1094269 писал(а):

он не может иметь вид, скажем,... $p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}$?
Почему?

Я же выше написал, почему мне так показалось. Да я хотел применить рассуждения в духе вот этой темы для доказательства теоремы Ремака, но не то, совсем не то. Спасибо всем.