Теория Галуа.

[gomomorfizm]

Доброго времени суток! Скажите, почему именно подход теории Галуа дает ответы на
1)Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
2)Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

[Ms-dos4]

gomomorfizm
А почему бы вам не взять книгу по ней и не прочитать? Если коротко, то
1)Пусть вам дали единичный отрезок (ну или точки 0 и 1), циркуль и линейку. Вы можете построить все точки, которые лежат в конечном расширении $\mathbb{Q}$ цепочкой квадратичных расширений. (грубо говоря это так, т.к. нахождение новых точек по старым при построениях сводятся к решениям уравнений не выше 2-ой степени). Значит, например, отрезок длиной $\[\sqrt[3]{2}\]$ вам построить не удастся.
2)Потому, что это напрямую связано с разрешимостью группы Галуа данного многочлена (берём поле $\mathbb{Q}$, расширяем его, добавляя корни многочлена. Группа Галуа многочлена - это группа автоморфизмов данного расширенного поля, действующая тождественно над $\mathbb{Q}$)

[gomomorfizm]

Ms-dos4
Благодарю Вас! Какую книгу можете посоветовать? Я задал этот вопрос на форуме, потому что диалог с человеком все-таки лучше чтения учебника, согласитесь.

[Ms-dos4]

Все хвалят Постников "Теория Галуа".
P.S.Если и дискутировать, то точно не со мной. Я как физик, так чисто из интереса на это поглядывал, но какого-то серьёзного погружения в эту область у меня нет.

[bananalover]

Возможно, вас может заинтересовать

https://www.coursera.org/learn/galois

Старт, правда, лишь через месяц, но тем не менее

[Hasek]

Я бы посоветовал в качестве вводного материала посмотреть соответствующие разделы в "Курсе алгебры" Винберга или в трёхтомнике Кострикина. Если поймёте всё там написанное, будет уже очень здорово и сможете решить для себя, интересна вам теория Галуа для дальнейшего изучения или нет.

Цитата:

Я задал этот вопрос на форуме, потому что диалог с человеком все-таки лучше чтения учебника, согласитесь.

Кстати, если вам "человеческое изложение" милее учебника, может есть смысл посмотреть видеозаписи каких-нибудь лекций. Например, в НМУ прошлой весной основы теории Галуа были в Алгебре-2, видео есть здесь: http://ium.mccme.ru/IUM-video.html#Spring-2015: