X = -X в поле

[student1138]

Добрый день.

По ходу чтения учебника встретил такое утверждение $x\in\mathbb{R}: x = -x \Rightarrow x = 0$. Для $\mathbb{R}$ это вроде бы действительно очевидно. Т.к. иначе 1 было бы равно -1, что для $\mathbb{R}$, как мы знаем, не верно.

Я задался тем же вопросом для произвольного поля: пусть в произвольном поле $x = -x$. Интуитивно, по аналогии с $\mathbb{R}$, кажется что $x$ должен быть равен нулю . Но что-то вот как ни крутил, не смог от $x = -x$ прийти к выражению $x = 0$.

Не подскажете, верно ли мое предположение? Как его можно доказать? Или опровергнуть, если неверно.

[Ms-dos4]

student1138
Предположить что $\[x \ne 0\]$, умножить на обратный элемент, получить противоречие в виде $\[1 = - 1\]$ (т.к. $\[1 \ne 0\]$)

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1093828 писал(а):

опровергнуть, если неверно.

В поле характеристики 2 - не получится.

-- Вс янв 24, 2016 15:26:24 --

Ms-dos4 в сообщении #1093830 писал(а):

получить противоречие в виде $\[1 = - 1\]$

Это не всегда противоречиво.

[student1138]

Ms-dos4 в сообщении #1093830 писал(а):

student1138
Предположить что $\[x \ne 0\]$, умножить на обратный элемент, получить противоречие в виде $\[1 = - 1\]$ (т.к. $\[1 \ne 0\]$)

Да я по этому пути ходил, но для произвольного поля не очевидно что $\[1 = - 1\]$ - противоречие. Возможно я страшно туплю. Можете объяснить каким аксиомам поля это противоречит?

[Ms-dos4]

Brukvalub
Да, точно, я как человек несколько далёкий от алгебры всё забываю про эту характеристику 2

-- Вс янв 24, 2016 15:31:05 --

student1138
Да нет, вы правы там есть случай, подсказаный Brukvalub - если $ \[1 + 1 = 0\]$, то в $\[1 = - 1\]$ противоречия нет. Т.е. такое бывает в поле характеристики 2

[student1138]

Вроде бы понял. $ x=-x \Rightarrow x + x = x + (-x) =0$. Если $ x\ne0$, то такое поле не может быть полем характеристики 0.

Хотя взамен возник следующий вопрос. Если поле имеет положительную характеристику то $\exists n\ne0: nx=0, x\ne0$. Однако это значит что $n, x$ являются делителями нуля (т.е не имеют обратных элементов).

А насколько я знаю определение поля - это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, где каждый ненулевой элемент обратим. Получается поле с ненулевой характеристикой - не поле.

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1093847 писал(а):

Однако это значит что $n, x$ являются делителями нуля (т.е не имеют обратных элементов).

Это значит, что $n$ не является элементом поля.

[NSKuber]

student1138
$nx$ в данном случае обозначает не умножение - натурального числа $n$ вообще может в поле не быть.
$nx:=\underbrace{x+\ldots+x}_{n}$

[Someone]

student1138 в сообщении #1093847 писал(а):

Если поле имеет положительную характеристику то $\exists n\ne0: nx=0, x\ne0$. Однако это значит что $n, x$ являются делителями нуля (т.е не имеют обратных элементов).

Нет, не значит, потому что $n$ не является элементом поля, а $nx$ — это сокращённая запись суммы $x+x+\ldots+x$ нескольких одинаковых слагаемых (как $x^n$ — сокращённая запись произведения $x\cdot x\cdot\ldots\cdot x$ нескольких одинаковых множителей).

[student1138]

Всем спасибо, пищу для размышления получил, больше не буду мучить невежественными вопросами.