уравнение

[ILIYA01]

Подскажите, пожалуйста, как решить такое уравнение $(9-x^2)*(x+4)^2=16*x^2

[нг]

ILIYA01
Пожалуйста, не помещайте всё сообщение в тег [mаth].

[Парджеттер]

ILIYA01 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как решить такое уравнение $(9-x^2)*(x+4)^2=16*x^2

Уравнение имеет два действительных корня - это можно сказать точно. Корни, наверное, кривые, потому что из делителей 144 ничего не подходит.
Конечно, можно все раскрыть и получить уравнение 4ой степени. Они, в принципе, решаются. Но, наверное, есть и более интересный способ разложить это уравнение на два квадратных.

[ILIYA01]

Еще можно заметить, что эти действительные 2 корня лежат от -3 до 3.
Но формулой Феррари не очень хочется пользоваться...

[Парджеттер]

ILIYA01 писал(а):

Еще можно заметить, что эти действительные 2 корня лежат от -3 до 3.

Я бы сказал от -2 до 3, если ограничиваться целочисленными рамками. А если еще уточнить, то от -2 до 5/2.

Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды:

Я так полагаю, вы уже "обгруппировались"...?

[незваный гость]

Уравнение раскладывается на два квадратных трёхчлена с целыми коэффициентами. Поскольку у 144 не так уж много делителей, то это проходимо.

[ILIYA01]

Вообще, мне почему-то кажется, что надо сделать какую-то триг замену.
Но пока ничего хорошего не получается. С группировкой тоже все плохо.

Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд:

Спасибо, вроде понял.

[Парджеттер]

незваный гость писал(а):

:evil:
Уравнение раскладывается на два квадратных трёхчлена с целыми коэффициентами. Поскольку у 144 не так уж много делителей, то это проходимо.

Раз все все поняли, то тогда, наверное, пришел и мой черед разбираться. Искомое разложение я нашел

$-(x^2+9x+36)(x^2-x-4)$

Вот и хочу спросить - вы упомянули про делители 144. Честно сказать, я уже все позабыл про это, такие задачи в практике не встречаются, увы, никогда. Я помню только схему в которой делитель должен являться корнем уравнения. Тогда, поделив на $(x-b)$, где $b$ - корень, который является делителем свободного члена, (для приведенного уравнения) понижаем порядок уравнения.
А если делители свободного члена не являются корнями, то как быть?

[Someone]

Если написать
$x^4+8x^3+23x^2-72x-144=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\\ =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$
и сравнить коэффициенты, то получится система

$$\begin{cases}a+c=8\text{,}\\ ac+b+d=23\text{,}\\ ad+bc=-72\text{,}\\ bd=-144\text{,}\end{cases}$$

решение которой, вообще говоря, равносильно решению исходного уравнения. В надежде на то, что имеется разложение на квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами, можно подбирать решение системы.

[незваный гость]

пусть уравнение $\sum^{n+m} a_k x^k = (\sum^n b_k x^k)(\sum^m c_k x^k)$. Тогда $a_0 = b_0 c_0$, а $a_{m+n} = b_n c_m$. Факт очевидный, когда записан в такой форме.

В нашем случае $a_0 = 1$, поэтому мы можем считать $b_0 = c_0 = 1$. Имеем $(x^2 + b_1 x + b_2) (x^2 + c_1 + 144/b_2)$. Осталось проверить делители 144. Мы имеем ещё два простых соотношения: для $a_1 = b_0 c_1 + b_1 c_0$ и для $a_{m+n-1} = b_{n-1}c_m+b_n c_{m-1}$. В нашем случае, мы можем решить систему, и проверить.

Удовольствие вручную — маленькое.

[Парджеттер]

Someone, спасибо большое. Теперь понял.

Добавлено спустя 47 секунд:

незваный гость, спасибо.

[Rony]

Помогите решить, пожалуйста... никак не найду какой-нибудь верный путь решения
$ (9-x^2)(x+4)^2=16x^2

[arqady]

Rony писал(а):

$ (9-x^2)(x+4)^2=16x^2

Попробуйте подстановку

$$x=3\sin t$$

[Someone]

Это уравнение обсуждалось здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=12871. Но там никакого "регулярного" метода решения не нашли, хотя ответ есть.

темы слиты воедино // maxal

[antbez]

Будь в правой части "минус", всё бы быстро решалось!